3. Прием постоянного напряжения в гауссовом шуме

Простейшей из мыслимых задач о приеме сигнала является тривиальная задача, в которую не входит время, на ней мы испробуем сначала метод обратной вероятности. Пусть х обозначает сообщение и пусть их — напряжение сигнала, представляющего это сообщение. К нему прибавляется случайное напряжение , распределенное по Гауссу, и принимаемое напряжение

представляется наблюдателю. Что можно сказать о величине зная

Первый шаг в применении уравнения (5) заключается в том, чтобы определить функцию правдоподобия. Она представляет собой гауссово распределение по у

где средний квадрат Таким образом, имеем из (5)

Могут существовать, например, два сообщения представляемые соответственно сигналами с напряжением и 1. Мы получим при этом

где должно быть определено из условия Если априорные вероятности сообщений "да" и "нет были равны, то решение вопроса, какое из этих сообщений является более вероятным, зависит от того, оказался ли у больше или меньше, чем 0,5.

Более близкое к действительности обобщение этого простого примера получается в предположении, что случайная функция времени, имеющая свойства белого гауссова шума, а сигнал — напряжение, постоянное в промежутке времени Здесь, как и в гл. II, удобно предположить, что не содержит частот выше некоторой частоты которая может быть выбрана произвольно высокой, много выше, например, чем Внутри интервала шум представляет собой гладкую функцию времени и принимает через промежутки времени как было выяснено в гл. И, статистически независимые значения. Последние определяют последовательность дискретов функции у, которые мы обозначим через у.. Чтобы извлечь из всю информацию, нет необходимости наблюдать у непрерывно, так как все его поведение определяется дискретами у.. Задача, таким образом, сводится к проведению последовательности не зависящих от времени наблюдений, каждое из которых подобно рассмотренному уже примеру. Шумы в разных наблюдениях независимы, поэтому можно применить уравнение (7). Оно дает

Сумма в показателе может быть превращена в интеграл с помощью уравнения (38) гл. II. Поэтому окончательно, пользуясь обозначением (2), имеем

средняя интенсивность шума на единицу ширины полосы. [Такой же результат может быть получен из уравнения (42) гл. II без обращения к дискретному представлению]. Отметим, что, как и следовало ожидать, произвольная частота не входит в окончательное уравнение (14).

Результат (14) имеет некоторое отношение к той радиоэлектронной технике, которая должна быть нормально использована в такого рода задаче. Здесь сначала можно пойти по следующему нестрогому пути. Будем писать и вместо их так как задача по существу сводится к определению и. Далее вместо того, чтобы вычислить апостериорную вероятность для каждою возможного значения, мы

можем удовлетвориться определением наиболее вероятного значения. Это означает, что отыскивается максимум выражения

относительно К сожалению, его нельзя найти, не делая никаких допущений относительно априорной вероятности Отложим, однако, обсуждение этого вопроса и опустим Это равнозначно предположению, что априори все значения и равновероятны. Дифференцируя экспоненциальную функцию и приравнивая результат нулю, имеем

откуда

Именно так приходится решать задачу на практике: усреднять сигнал с шумом за время, в течение которого сигнал остается постоянным. Вопрос, который нужно теперь обсудить, заключается в следующем: является ли такая процедура, упрощенная по сравнению с формулой (14), в каком-то смысле достаточной?