3. Моменты и производящие функции

В большей части физических и, в частности, радиотехнических применений теории вероятностей мы имеем дело с задачами, в которых полная вероятность, равная единице, распределена по множеству количественных признаков. Существенным свойством величин — в противоположность качествам — является то, что их можно упорядочить и между двумя любыми из них имеется некоторое «расстояние». Количественные признаки можно представить в виде точек на линии, как на рис. 1, или в более общем виде на поверхности с любым числом измерений. Отсюда появляется геометрия распределений вероятностей, в которой важную роль играют моменты.

Рис. 1. Симметричные биномиальные распределения.

Ординаты представляют вероятности, абсциссы — число событий, число испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события равна 0,5.

Если какое-то распределение вероятностей по дискретным точкам на линии, то момент определяется так

Момент нулевого порядка равен, очевидно, единице. Момент первого порядка — центр тяжести точек взятых со статистическими весами Момент первого порядка является средним значением которое будет получено в результате большого числа независимых испытаний. Действительно, если проводится испытаний и достаточно велико, наступит примерно раз. Среднее поэтому будет равно

Подобным образом является средним значением от аналогично моменту инерции) и т. д. Это оправдывает более обычную запись

Очевидно, что среднее значение (или математическое ожидание) какой-либо функции будет

Геометрическое значение момента второго порядка, соответствующего заключается в его связи с разбросом значений

около Наиболее естественно измерять разброс средним квадратом отклонения от

Число момент второго порядка минус квадрат момента первого порядка, называется дисперсией распределения Квадратный корень этой величины, называется стандартным отклонением (или стандартом). В таких распределениях, как биномиальное, измеряет ширину горба. Однако это является несколько неосторожным утверждением, потому что величина а может заметно зависеть от асимптотического поведения очень малых вероятностей вдали от центра тяжести. Некоторые распределения с горбом дают бесконечные значения а, однако у большинства распределений вероятностей, которые встречаются в физике, "хвосты" спадают по меньшей мере так же быстро, как экспоненциальная функция. В таких случаях хвосты распределения дают малый вклад в сумму (13) и о является разумной мерой разброса. Если распределение имеет более одного горба или не принадлежит к какому-либо простому типу, среднее значение и стандарт не имеют простого графического истолкования, но все же остаются полезными математическими параметрами.

Хотя моменты распределения могут быть вычислены непосредственно из равенства (9), имеется также другой способ, представляющий значительный интерес. Сначала мы образуем так называемую производящую функцию, соответствующую определяемую равенством

Дифференцирование по х дает

и т. д. Если теперь в положить то получится момент первого порядка. Подобным же образом из можно получить момент второго порядка. Итак,

Метод особенно эффективен в применении к биномиальному распределению Имеем

и отсюда

Полученные значения наглядно иллюстрируют высказывания, сделанные в § 2. То, что о пропорционально корню квадратному из не доказывает, но подсказывает утверждение (8). Строгое доказательство этого утверждения не представляет принципиальной трудности.

Рис. 2. Идеализированное шумовое колебание.

Моменты имеют особенно простое толкование, если их применить к изменениям электрического тока. Рассмотрим идеализированную форму тока, изображенную на рис. 2. Значения тока на каждом отрезке времени предполагаются выбранными случайно, независимо между собой. Возможными значениями тока являются целые кратные от единичного тока, а вероятность появления на данном отрезке значения тока в единиц задается некоторой функцией Имеем следовательно,

Здесь, как и в остальных случаях, под мощностью тока (или напряжения) мы понимаем мощность, которая рассеивалась бы на единице сопротивления. При этом мгновенная «мощность какого-либо колебания просто равна квадрату тока или напряжения.

Выражение для дисперсии (14) теперь можно представить через моменты следующим образом:

Когда беспорядочные флюктуации нежелательны, они являются «шумом», и дисперсия распределения их значений есть средняя мощность шума. Случайные флюктуации не всегда являются шумом: действительно, иногда изменения полезного сигнала могут трактоваться как случайные. Основой теории связи, как мы увидим после, является то, что и сигнал и шум могут рассматриваться как ститистические явления.