5. События, появляющиеся случайно во времени

В физических задачах часто встречаются события, появляющиеся в случайный момент времени. Мы изложим в этом введении простую теорию таких событий, хотя она и не является строго необходимой для настоящей монографии.

Пусть время разделено на малые промежутки продолжительностью и вероятность того, что в какой-то из промежутков произойдет некоторое событие, равна независимо для каждого промежутка. Например, если может получиться последовательность, подобная следующей:

Число событий в единицу времени подчиняется биномиальному распределению где число испытаний (промежутков 81). Теперь предположим, что промежуток становится все короче и вероятность, отнесенная к промежутку, пропорционально уменьшается таким образом, что среднее число событий в единицу времени остается постоянным и равным, скажем, В пределе мы получим события, появляющиеся случайно во времени. Таким образом, за единицу времени мы имеем

причем

При этом на основании (36) и (37) производящая функция для

Коэффициент при в разложении являемся по определению вероятностью появления событий. Таким образом, мы получаем

Это — распределение Пуассона. Из (19), (21) и (38) видно, что среднее значение и дисперсия равны

Рис. 3. Экспоненциальное распределение.

Интерес представляет также распределение вероятностей для длительности промежутков времени между двумя последовательными событиями. Хотя на первый взгляд это может показаться странным, но это распределение совпадает с распределением для промежутков времени между любым случайно выбранным моментом и ближайшим событием. Вероятность того, что в дискретной последовательности за каким-нибудь промежутком следует нулей, а затем событие, равна

причем из уравнения (37) мы имеем

так как Это можно записать по-другому. Вероятность того, что ближайшее событие произойдет в промежуток после времени можно обозначить где Тогда

и, переходя к пределу при мы получаем экспоненциальное распределение (рис. 3)

Это — вероятность того, что время от случайно выбранного момента до ближайшего события будет лежать в интервале Величина является не вероятностью, а плотностью вероятности, имеющей размерность обратную времени, так как должно быть безразмерным.