2. Обратная вероятность

Вычисление представляет собой простое упражнение на «обратную вероятность». Это понятие будет кратко проиллюстрировано на примере. Оправданием термина «обратная вероятность» является то, что с ее помощью мы пытаемся найти причину вызвавшую данный эффект у, в то время как «прямые» вероятности описывают эффекты, вызванные заданной причиной. Рассмотрим типичный пример, поддающийся полной обработке с помощью понятия обратной вероятности.

Пусть в некоторой совокупности монет — три четверти настоящих, а одна четверть имеет с обеих сторон решетку. Случайно выбранная монета подбрасывается и выпадает решетка. Какова вероятность того, что на ее обратной стороне герб? Пусть х обозначает причину, причем соответствует настоящей монете, фальшивой, и пусть у обозначает следствие, результат бросания. Согласно теореме умножения вероятностей

и так как у известно, второе из этих уравнений может быть записано так:

где постоянная, зависящая лишь от у. Подставляя заданные значения, получим

Постоянная определяется из условий нормировки, из условия Отсюда мы сразу получаем нужные вероятности обеих гипотез (монета фальшивая или настоящая) при условии, что выпала решетка

Более вероятным оказывается предположение, что монета — настоящая.

Уравнение (2) есть уравнение обратной вероятности, представляет собой априорную вероятность апостериорную вероятность известна как функция правдоподобия от х. Два первых названия понятны, так как они относятся к ситуациям до и после наблюдения эффекта, третье название чисто условно. Слово вероятность в нем намеренно избегается, так как мы рассматриваем как функцию от х при фиксированном у — эта функция не является распределением вероятности.

Иногда удобно, несмотря на нежелательность перемены обозначений, писать для априорной вероятности, для апостериорной вероятности и для функции правдоподобия. Уравнение (2) при этом принимает вид:

Это обозначение удобно, когда имеется последовательность независимых опытов, из которых х определяется со все возрастающей надежностью, причем истинное (неизвестное) значение х остается постоянным в течение всех испытаний. Каждый опыт порождает свою функцию правдоподобия от х, которую для опыта мы можем обозначить через Апостериорная вероятность после каждого опыта становится априорной вероятностью для следующего, таким образом

Здесь отличны в каждом уравнении, они, как принято в теории обратной вероятностей, определяются из условий нормировки распределений, в состав которых они входят. Комбинируя все эксперименты, можно записать конечное апостериорное распределение в виде

при условии, что "шумы", вызывающие неопределенность, в разных опытах независимы.

Чтобы проиллюстрировать уравнения (6), вернемся к примеру с орлянкой. Взяв ту же монету, бросают ее второй раз, и снова выпадает решетка. Какова теперь вероятность того, что на другой стороне герб? Используя (4) в качестве априорного распределения, имеем

откуда после нормировки

Второе бросание изменяет вероятности в пользу фальшивой монеты. Дальнейшие бросания с выпадением решетки будут увеличивать вероятность того, что монета фальшивая, но если хоть раз выпадет герб, мы получим достоверность того, что монета настоящая, так как для герба Следующие бросания не смогут изменить это заключение, потому что в произведение (7) войдет множитель 0. Здесь видно, что метод обратной вероятности находится в полном согласии со здравым смыслом; конечно, трудно было бы ожидать другого, раз мы считаем, что с ним согласуются сами аксиомы теории вероятностей.