2. Пороговые эффекты

Очень интересно убедиться в том, что структура выражения отражает интуитивное представление об оценке х по известному Это особенно хорошо видно, когда свойства рассматриваются в связи с отношением сигнал/шум на входе. Но сначала мы должны выяснить, что понимается под этим отношением, так как интенсивность шума для еще не была определена. Была определена только мощность шума в единице полосы частот, имеющая размерность энергии. Окажется, что существенным является сравнение с полной энергией принятого сигнала

Для простоты мы будем продолжать придерживаться допущений гл. V, § 1. Величина сигнала предполагается заранее известной в приемнике, а априорное распределение настолько узким, чтобы все возможные полностью укладывались внутри интервала наблюдения

Уравнение (2) тогда может быть записано для находящегося внутри априорного интервала в виде

где задается соотношением (3). Для целей исследования необходимо представить в виде суммы сигнала и шума где истинное значение При этом (3) можно разложить на слагаемые:

где

Функции будут называться соответственно сигнальной функцией и шумовой функцией.

Теперь можно проанализировать структуру функции показанной на рис. 11,г. Если бы шум был убран, график ее был бы такой, как на рис. 12,б, изображающем для того частного сигнала который рассматривается в этом примере. Как уже отмечалось, имеет максимум при и из (6) ясно, что так должно быть всегда. Значение в максимуме равно

где -энергия (интеграл от квадрата) сигнала. Если форма сигнала выбрана надлежащим образом, будет спадать до нуля для достаточно далекого от Кроме того, можно показать, что не может превосходить значение (8) даже в том случае, когда, кроме максимума при существуют другие максимумы (обычно нежелательные, но неизбежные).

Рис. 12. а) сигнал, б) сигнальная функция.

В этой и в следующей главах предполагается, что спадает к нулю довольно быстро по обе стороны от своего максимума при и остается равным нулю во всем остальном интервале априорно возможных значений (Основные ограничения для обсуждаются в гл. VII, а острота его максимума в гл. VI.)

Шумовая функция как можно понять из (7), является случайной функцией от Ее значение для каждого частного представляет собой взвешенное среднее от определенного отрезка первоначального шума и подчиняется поэтому гауссову распределению с нулевым средним значением. Особый интерес имеет определение дисперсии этого распределения или, другими словами, среднего значения величины Его легко найти с помощью дискретного представления. Взяв произвольно большое в качестве верхнего предела частоты для и

выбирая дискреты через интервалы можно переписать (для любого частного значения уравнение (7) в таком виде:

где дискреты функции Каждый дискрет имеет дисперсию поэтому дисперсия величины пгиг равна Дисперсии всех членов суммы складываются, так как все независимы. Итак

что равно (Подчеркнем, что (11) есть средний квадрат А.)

Безразмерная величина имеет, очевидно, основное значение. Обозначим ее

Это — отношение энергий сигнала и шума в множитель 2 не будет казаться неестественным, если вспомнить, что средняя энергия шума на степень свободы равна Доставляет удовлетворение то, что единственный параметр описывает так много: он равен отношению сигнал/шум в пиковому значению сигнальной функции среднему квадрату шумовой функции а также, следовательно, и отношению пикового значения мощности сигнала к мощности шума в Для удобства ссылок запишем

Было уже отмечено, что представляет собой определенным образом профильтрованную функцию и притом так, что отношение пикового значения сигнала к шуму делается максимальным. При этом имеет ту особенность, что чем больше входное отношение сигнала к шуму в тем больше шумовая составляющая и тем больше, разумеется, сам сигнал. Следствия из этого становятся очень ясными, если подставить в уравнение (4). Предположим сначала, что мало по сравнению с единицей. Тогда уже одно уравнение (12) говорит, что из наблюдения можно извлечь мало информации. Подтверждение этому содержится в из (13) видно, что макс будет мало по сравнению со средним квадратичным значением Следовательно, мы должны ожидать, что апостериорное распределение обладает большой неопределенностью. Математически это получается потому, что как так и малы по сравнению с единицей, поэтому мало для всех значений х, вследствие чего из (4)

примерно совпадает с Полное совпадение означало бы получение информации, равной нулю.

Когда становится больше, начинает сильнее отличаться от и превращается в заостренное распределение, подобное показанному на рис. переходящее в пределе в дельта-функцию при Эта последняя стадия, если бы она была достигнута, дала бы бесконечный выигрыш информации.

Рис. 13. (см. скан) Типичные (ненормированные) апостериорные распределения для различных отношений энергии сигнала к шуму.

Проследим теперь более подробно за этими изменениями. Когда меньше единицы, изменения в зависимости от происходят, главным образом, благодаря изменениям функция испытывает лишь слабые отклонения, показанные на рис. одним значениям х соответствуют немного большие вероятности, чем другим. (В этой группе графиков априорное распределение предполагается равномерным, поэтому всякое отклонение от равномерности представляет, как это было объяснено в гл. III,

выигрыш информации.) Когда растет, среднее квадратичное значение увеличивается и неравномерности становятся более резко выраженными. Когда проходит через единицу, распределение начинает распадаться на ясно выраженные пики, разделенные областями почти нулевой вероятности. При большем единицы, среднее квадратичное значение шумовой функции становится больше единицы, а это означает, что нелинейное искажение, осуществляемое экспоненциальным оператором, становится резко выраженным. Кроме того, при большем единицы, пиковое значение превосходит среднее квадратичное значение и поэтому один из пиков почти наверное располагается в окрестности истинного значения При дальнейшем росте растет степень достоверности того, что пик обусловленный сигналом, будет выше, чем пики из-за шума, а следовательно и того, что эти малые шумовые пики не являются в действительности замаскированным сигналом. Это в точности отражает функция в которой экспоненциальный оператор, действующий теперь при больших отклонениях, подавляет все, кроме наивысшего максимума. Эти различные стадии изображены на рис. 13. При построении этих графиков многократно использовалась одна и та же развертка шума, изменялось лишь отношение сигнал/шум. Рис. 13,д соответствует рис. 11,д; развертки отдельно взятых шума и сигнала те же, что на рис. 11,

Структуры функции распадаются довольно очевидным образом в зависимости от значения на три класса. Один четко, выраженный переход имеет место в окрестности Для меньших значений является связным распределением, для больших оно "крошится. При большем единицы, может быть оценено со значительной точностью, соответствующей ширине какого-либо из пиков, но при этом можно только гадать, какой пик является истинным. Далее при некоторых значениях больших чем единица, вероятность существования такой неоднозначности резко падает до малой величины. Некоторая неопределенность сохраняется в том смысле, что не может быть определено совершенно точно, но мы резервируем термин неоднозначность для обозначения наличия нескольких отдельных пиков функции Если наблюдатель должен действовать на основе сделанных им наблюдений, существование двух или большего числа полностью разделенных пиков со сравнимыми вероятностями (т. е. площадями) создает гораздо большее затруднение, чем недостаток точности, связанный с конечной шириной истинного пика. Величина при которой неоднозначность исчезает, или, если говорить более точно, падает до значения 1/2, может быть названа порогом разборчивости. В гл. VI выяснится, что этот порог зависит от ширины полосы посылаемого сигнала и от степени априорной неопределенности величины В нашем примере на рис. 13 он соответствует если рассматривать эту задачу статистически.

Шэннон [6] дал интересное люлкование порогу разборчивости в системах связи, показав, что неоднозначность, связанная с расчленением, может наступать всякий раз, когда сообщение малой мерности кодируется в сигнал большей мерности. Простое радиолокационное сообщение рассмотренное нами, одномерно. С другой стороны, сигнал, представляющий есть колебание с большим числом измерений. Другими словами, ансамбль сигналов, обладающих априорным распределением изображается векторами в многомерном пространстве колебаний. Любому значению соответствует единственная точка в этом пространстве; когда меняется, изображающая точка прочерчивает извилистую кривую. (Если все сигналы имеют одинаковую энергию, кривая намотана на поверхность гиперсферы.) Шум нарушает положение изображающей точки и вызывает два явления: одно — обычное уменьшение точности, показанное на рис. 13,д, другое — неоднозначность, как на рис. 13,г, связанную с коротким замыканием петель кривой. Точка может быть отброшена от своего правильного положения настолько, что она будет казаться соответствующей совершенно ложному значению лежащему на другой петле. Эти петли подобны извивам одномерной нити, уложенной в двух- или трехмерной коробке, или складкам двухмерного листа бумаги, брошенного в трехмерную корзину.