6. Плотность вероятности и интегральная свертка

Обобщение теории дискретных распределений вероятностей на непрерывные распределения в большинстве случаев является очевидным и заключается в замене сумм интегралами. Если случайная величина, которая может принимать непрерывный ряд значений, ее вероятность можно описать функцией -плотностью вероятности. Площадь

является вероятностью того, что х лежит между Плотность не имеет другого смысла, как плотность относительно х. Она не инвариантна относительно замены переменной, поэтому нужно ясно себе представлять, о какой переменной идет речь.

Рис. 4. Одно и то же распределение, отнесенное к разным переменным: а) плотность относительно плотность относительно где

Предположим, например, что имеется постоянный электрический ток который может с одинаковой вероятностью принять любые значения между и 1. Так как общая площадь, ограниченная равна 1, плотность

и равна нулю для других значений У, как это показано на рис. 4,а. Теперь мы заменим переменную и подсчитаем плотность вероятности для мощности

Вероятность, что лежит в интервале равна вероятности того, что значение тока лежит в соответственном интервале Поэтому

или

Из уравнений (44) и (45) мы получаем

Таким образом, мощность не принимает с одинаковой вероятностью любое значение между и 1, ее вероятность, как показано на рис. 4,б, растет для малых значений. Далее, если рассматривать

как функцию видно, что эта функция не совпадает с так как это плотность вероятности для другой переменной.

Формула для среднего значения любой функции аналогично дискретному случаю имеет вид

Например, если случайно меняющийся ток, то постоянная составляющая равна

а средняя мощность равна

В этой общей мощности имеется часть создаваемая постоянной составляющей. Остальная часть создается флюктуациями в полном соответствии с равенством (24), которое, конечно, справедливо и для непрерывных распределений.

Плотность вероятности суммы х двух непрерывных случайных величин выражается вместо суммы (26) интегральной сверткой. Если две плотности, их свертка

Рис. 5. Свертка экспоненциального и прямоугольного распределений.

Это — очень важная формула. Мы ее проиллюстрируем, найдя свертку двух уже описанных непрерывных распределений — экспоненциального и прямоугольного. Пусть

причем вероятности для равны нулю вне указанных интервалов. Пусть Определим распределение Подстановка в уравнение (52) выполняется не очень просто, потому что ни ни не даны единой формулой во всем интервале от до и интеграл должен вычисляться отдельно для различных участков если х отрицателен, равно нулю, ибо всегда положительна, таким образом,

если х лежит между и 1, мы имеем

если х больше 1,

Полное распределение изображено на рис. 5. Результат подобен тому, что получается при прохождении прямоугольного импульса через RС-контур. Это совпадение не случайно.