ГЛАВА VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАДИОЛОКАЦИОННОЙ ИНФОРМАЦИИ

1. Введение

В предыдущей главе математические выражения апостериорных вероятностей были использованы для определения того вида, который должен иметь идеальный приемник. Теперь мы можем заняться оценкой той информации, которую представляют апостериорные вероятности. В частности, изучая структуру апостериорного распределения заданного уравнением (35) гл. V, можно составить себе представление о качестве и количестве доступной информации о расстоянии и оценить порог разборчивости.

Сначала, однако, выберем способ обозначения. Хотя теорию приема можно было набросать в чисто действительной форме, имеющей преимущество непосредственности, для подробного математического исследования более удобной оказывается комплексная формулировка. К сожалению, невозможно избежать использования некоторых символов предыдущей главы в новом смысле. Мы будем применять следующие обозначения. Сигнал, до сих пор обозначавшийся через действительное будет превращен в комплексное путем отбрасывания отрицательных частот по способу, описанному в гл. II, § 9. Подобным образом, шум, прежде обозначавшийся действительным становится комплексным Результирующее колебание у — и становится

для точечной цели, расстояние до которой соответствует запаздыванию эха на время Одно из преимуществ комплексной формулировки заключается в том, что она позволяет превращать высокочастотные колебания в комплексные низкочастотные с помощью записи

где соответствующим образом определенная несущая частота. Входящие в эти уравнения имеют иной смысл, чем в предыдущей главе: они являются, вообще говоря,

комплексными колебаниями с независимыми действительной и мнимой частями. Если, например, частотно-модулированный сигнал, то и обязательно комплексно, и его спектр будет содержать положительные и отрицательные частоты, соответствующие высоким частотам выше и ниже Составляющие с отрицательными и положительными частотами в и не являются комплексно сопряженными, за исключением случая чисто амплитудной модуляции.

Следует отметить некоторые полезные результаты гармонического анализа, выраженные в терминах такого комплексного обозначения. Речь идет о формулах для моментов распределения энергии комплексного сигнала по спектру, полученных Габором [3]. Основное соотношение есть

где Фурье-сопряженная от (у Габора — другое обозначение). Уравнение (3) получается непосредственно из теоремы Парсеваля (гл. II, § 3) при повторном применении правила 4, указанного в таблице (гл. II, § 1). Положив в получим

это — обычное соотношение для энергии. Энергия равна лишь половине от проинтегрированного квадрата модуля вследствие того, что физическое колебание дается действительной частью Положив получим

Это уравнение может служить определением несущей частоты согласно этому определению есть центр тяжести распределения содержащего (по определению) только положительные частоты.

Приведенные результаты могут быть выражены также через низкочастотную функцию и, которая определяется через согласно (2). Имеем

Последний результат получается при подстановке (2) в (5). Он просто означает, что нулевая частота в и выбрана в качестве центра тяжести спектра энергии сигнала. Наконец, мы можем определить ширину полосы так, чтобы было нормированным моментом второго порядка распределения около или распределения около нуля. Тогда

Нужно ясно понимать, что интегралы в левых частях уравнений (3) — (8) обычно имеют бесконечные пределы, тогда как интегралы, содержащие должны браться в пределах от нуля до бесконечности, так как содержит отрицательных частот. Однако, если и есть периодическая функция (длится бесконечно долго), интегралы, взятые между бесконечными пределами, будут расходиться. В этом случае интегрирование в (6), (7) и (8) может быть проведено по конечному целому числу периодов, а будет представлять энергию сигнала в этих пределах.