2. Прямоугольная функция и ее спектр

Одной из самых простых и наиболее важных пар, сопряженных по Фурье, является прямоугольный импульс, или прямоугольная функция, и ее спектр. Мы будем пользоваться следующими обозначениями:

для импульса

для его спектра

Этот результат, который легко получается из равенства (4), широко используется в применениях теории интеграла Фурье. Он обязан своим значением в радиоэлектронике не одному только развитию импульсной техники.

Рис. 8. График функции

Функция имеет весьма интересные и привлекательные свойства, но место не позволяет обсудить их полностью. На рис. 8 изображен график Эта функция равна единицепри и равна нулю для всех других целочисленных значений х. Площадь, ограниченная этой кривой, равна единице, так же, как и площадь, ограниченная Функция входит в состав семейства сдвинутых друг относительно друга взаимно ортогональных функций. Имеем

где целые числа.

Первый результат вытекает из уравнения (3), если положить Доказательство ортогональности будет приведено ниже.

В качестве простой иллюстрации правил найдем спектр высокочастотного колебания, модулированного последовательностью

прямоугольных импульсов. Импульсы предполагаются когерентными по фазе в одном из следующих двух смыслов:

1) фаза несущей в начале каждого импульса одна и та же;

2) фаза определена посредством некоторой опорной частоты, существующей в течение всего времени.

В первом случае мы имеем строго периодическое колебание, во втором случае имеет место когерентность по фазе в точном смысле. Рассматриваемые колебания могут быть представлены соответственно в таком виде:

где период повторения, продолжительность импульса, частота несущей.

Используя пары 1 и 2 и правила 1, 7, 8, 10, 11 и 13, находим спектры

Оба являются линейчатыми спектрами, огибаемыми функциями с максимумами при Существенная разница между ними состоит в том, что имеет линии на частотах в состав которых вообще не входит тогда как V имеет линии на частотах в состав которых не входит если только несущая не оказывается кратной частоте повторения.

Интересен также спектр ограниченной последовательности импульсов. Пусть последовательность прямоугольных видеоимпульсов, продолжающаяся от до Тогда мы имеем

Применяя правила, мы сразу получаем

Таким образом, линии в спектре расширились в полосы шириной приблизительно Нахождение формул, подобных этим, посредством подстановки в интеграл Фурье очень громоздко. Отсюда ясна польза правил и сокращенных обозначений.