Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
8. Характеристические функции и нормальное распределениеСвертки приводят естественным образом к теории «нормального распределения» вероятностей, последнего из трет классический распределений. В отличие от распределения Бернулли и Пуассона оно непрерывно и пропорционально условия, при которых она справедлива, но следует изложить суть доказательства, так как подобные математические приемы имеют и другие применения в радиоэлектронике. Сначала мы рассмотрим некоторую функцию, которая для непрерывного распределения служит тем же, чем для дискретного распределения служит производящая функция. По аналогии, если
Однако этот интеграл неудобен. Из соображений математического удобства вместо него выбирают функцию
Она является преобразованной по Фурье от функции
Однако в этой главе
Можно получить отсюда равенство, аналогичное (16), если вместо подставить
и
Если свертываются две плотности, то их характеристические функции умножаются (так же, как и производящие функции). Для полноты ниже дается доказательство. Пусть
Обозначив сумму 6 и через х и заменив на
Сравнивая это выражение с равенством (62), мы видим, что
Для иллюстрации мы можем проверить выражение (59). Характеристическая функция для дельта-функции получается заменой При выводе нормального закона задача сводится к образованию произведения большого числа характеристических функций, что соответствует суммированию большого числа независимых случайных величин. Мы предположим для простоты, что каждая случайная составляющая имеет среднее значение, равное нулю, и сначала мы будем считать, что моменты второго порядка всех компонент равны. Так как среднее значение равно нулю, момент второго порядка в соответствии с (14) равен дисперсии. Обозначим ее
Так как по условию все составляющие имеют одинаковую дисперсию, это разложение, если оно пригодно, одинаково пригодно для всех составляющих. Если двух членов разложения достаточно, окончательный ответ будет получен путем возведения в
и, если
Однако остается открытым вопрос о допустимости ограничения двумя членами разложения особенно потому, что следующим шагом является подстановка казаться пригодным лишь для малых Подставляя выражение (72) вместо
Это и есть нормальное распределение вероятностей. Мы теперь можем устранить два ограничения, принятые в предыдущем рассуждении. Во-первых, очевидна ненужность требования, чтобы среднее значение каждой случайной составляющей было равно нулю, — это лишь вопрос выбора начала отсчета. Так как смещения аддитивны, результирующее нормальное распределение имеет в общем случае не нулевое среднее значение, равное сумме средних всех составляющих, и мы можем написать Очень важной характерной чертой нормального распределения является его поведение при свертывании. Если свертывается два нормальных распределения, то результат будет также нормальным распределением (это свойство иногда называется "закон воспроизведения"). Предположим, что распределения имеют нулевые средние значения и дисперсии Тогда в соответствии с (72) их характеристические функции будут
характеристическая функция распределения суммы будет
что, очевидно, соответствует нормальному распределению с дисперсией Если составляющие имеют средние, не равные нулю, то среднее результирующего распределения является суммой средних значений. Распределение Гаусса имеет большое значение в радиоэлектронике, так как оно описывает поведение случайного шума. Шумовые токи и напряжения флюктуируют во времени, но, оставляя в стороне вопрос о временнбм поведении и отмечая шум в какой-нибудь произвольный момент времени, мы можем почти всегда утверждать, что распределение вероятностей для тока или напряжения является гауссовым с дисперсией, равной средней мощности шума. Говоря точнее, закон Гаусса не всегда имеет место, но обычно бывает справедлив, когда шум образуется, как суперпозиция очень большого числа малых независимых случайных возмущений. Тепловой шум, например, является гауссовым, так как он создается благодаря независимым беспорядочным движениям отдельных электронов, и каждый из них дает небольшую часть наблюдаемого напряжения. Даже если шум не гауссов, как, например, на выходе нелинейного устройства, то он становится гауссовым, если пройдет через линейный фильтр, имеющий достаточно большую временную постоянную. Это относится, например, к дробовому шуму, в случае которого постоянная времени должна быть велика по сравнению со средним значением промежутка времени между попаданием отдельных электронов на анод. Временная постоянная обеспечивает необходимое для получения гауссова распределения условие, заключающееся в том, что в любой момент времени должна существовать суперпозиция большого числа возмущений.
|
1 |
Оглавление
|