6. Обсуждение порогового эффекта

Пороговое значение отношения сигнал/шум выше которого неоднозначность из-за шума становится малой, может быть оценено различными методами, которые не дают в точности один и тот же результат. Математически это объясняется возможностью дать различные определения порога, не вполне эквивалентные между собой. В практических задачах может быть полезным, например, рассматривать вероятность того, что сигнал плюс шум превзойдут наибольший шумовой пик; порог определяется затем путем произвольного выбора определенного значения этой вероятности. Этот метод описывает пороговый эффект, испытываемый наблюдателем, который,

выбирая наиболее вероятное положение сигнала, дополняет достоверность догадками. Или же можно выбрать запирающее напряжение так, что для одного шума будет мала вероятность превзойти его, а для сигнала с шумом будет мала вероятность его не превзойти. Такие методы оценки порога основаны на прямой вероятности (в отличие от обратной) и были использованы автором, когда этого требовалц обстоятельства.

Подход, описанный в этой главе, несколько отличный. Здесь сделана попытка проанализировать неопределенность, испытываемую наблюдателем в любом случае до того, как он прибегнет к догадкам. Однако эта неопределенность или неоднозначность отлична от одного случая к другому (причем все, кроме детальной структуры шума, остается фиксированным), и мы встречаемся поэтому с двойной статистической задачей, которая нелегко поддается точной обработке. С математической точки зрения флюктуации неоднозначности происходят благодаря тому, что площадь под «истинным» пиком апостериорного распределения и полная площадь под «ложными» пиками флюктуируют из-за шума. Чтобы избежать эту трудность, в гл. VI, § 4 были сделаны при описании перед нормировкой некоторые довольно грубые приближения; площади под истинным пиком было придано то значение, которое она имела бы в отсутствии шума, а полная площадь под ложными пиками была заменена ее средним значением. Вопрос, который следует теперь обсудить, заключается в следующем: являются ли эти фиксированные площади действительно характерными и ведут ли они к разумным приближениям для порогового значения

Рассмотрим сначала истинный пик находящийся около Если случится, что шум, накладываюсь на сигнал, усиливает его, то площадь, естественно, увеличивается, если же шум ослабляет сигнал, площадь уменьшается. Говоря совсем грубо, одинаково вероятно, что площадь уменьшится или увеличится по сравнению с величиной, задаваемой (31), которую мы получили, пренебрегая Увеличения будут гораздо большими, чем уменьшения, так как есть по существу экспоненциально преобразованный сигнал с шумом. Однако эти относительно большие положительные флюктуации не будут влиять пропорционально на неоднозначность, так как они уменьшатся в результате нормировки. Это рассуждение наводит на мысль, что величина (31) в действительности более характерна, чем среднее значение площади, ибо на среднее очень сильно сказывается отсутствие симметрии между положительными и отрицательными флюктуациями. Рассмотрим теперь общую площадь ложных пиков Здесь имеется меньше оснований опасаться, что средняя площадь не будет характерной по той простой причине, что здесь площадь образуется из многих независимых взносов, которые имеют тенденцию восстанавливать симметрию около среднего значения. Хотя все эти предположения не являются неразумными, еще не оказалось возможным проанализировать задачу в этом

направлении более глубоко и мы должны поэтому рассматривать формулу (35) для порога лишь как грубое приближение. Сравнение для отдельных случаев с подобными же формулами, основанными на прямых вероятностях, показывает, что логарифмическая зависимость от безусловно верна, но показатель степени под знаком логарифма недостоверен. Кроме того, было бы неразумным рассматривать неоднозначность А, заданную уравнением (34), как нечто большее, чем описательную величину.

Существует еще один путь определения порога, представляющий, быть может, больший теоретический интерес, чем какой-либо другой, но он имеет меньшее практическое значение. Он заключается в приравнивании приростов информации, найденных для и т. е. к нахождению пересечения обеих сплошных кривых, изображенных на рис. 17. Из уравнений (41) и (45) получаем

или

что допускает интересное сравнение с формулой (35).

Наибольшее значение при всяком анализе пороговых эффектов как в радиолокации, так и в системах связи имеет зависимость минимально необходимого отношения сигнал/шум от априорных знаний наблюдателя. Если стрелка измерительного прибора флюктуирует в отсутствие сигнала, мы не можем быть уверены в том, что имеется сигнал до тех пор, пока он не дает отклонение, во сколько то раз большее, чем среднее квадратичное отклонение из-за шума. Если на основании априорных сведений присутствие сигнала неправдоподобно, мы, естественно, потребуем большее отношение сигнал/шум для того, чтобы придти к убеждению, что сигнал действительно налицо. В радиолокационной задаче мы можем иметь тысячи «измерительных приборов», и сигнал может с одинаковой вероятностью появиться на любом из них. Чем больше число «измерительных приборов», тем меньше вероятность того, что сигнал появится на каком-то определенном из них, и тем большее требуется отношение сигнал/шум. В этой главе «измерительные приборы» предполагались объединенными в некоторый континуум, но мы можем сказать грубо, что имеется различимых элементов дальности, а пороговое значение как было найдено, растет как логарифм

Особенностью таких систем, как радиолокация, является то, что информация об одном только существовании не может быть отделена от информации о положении. Уравнение (32) гл. V показывает, что идеальный приемник для определения отсутствия или присутствия сигнала должен сначала разрешить все возможные расстояния настолько, насколько это позволяет передаваемый сигнал;

если цель движется, то можно показать аналогично, что все возможные скорости должны разрешаться подобным же образом. Порог распознавания существования наступает практически при том же отношении сигнал/шум, что и порог разрешения. В этом смысле применение систем большей разрешающей силы для распознавания присутствия изолированной дели в пустом пространстве приведет к излишней трате энергии сигнала, однако на практике большая разрешающая сила обычно требуется, чтобы разобраться во множестве нужных и ненужных целей.