7. Системы наблюдения и «априорная» трудность

Фундаментальным препятствием на пути создания полностью удовлетворительной теории приема, приложимой к таким системам наблюдения, как радиолокация, является, несомненно, вопрос об априорных распределениях как для сообщений х, так и для несущественных статистических параметров, подобных обозначенному нами через а. Перед обсуждением этой основной трудности приглядимся к идеальным требованиям. В идеале мы стремимся определить по некоторым данным содержащим шум, состояние сообщения х. В истинной системе связи с надлежащим кодированием состояний сообщения в сигналы дело можно поставить так, что у будет указывать сообщение х с как угодно малой неопределенностью при том условии, что мы не будем пытаться передавать информацию со скоростью, превосходящей пропускную способность системы. Этот случай не представляет принципиальных трудностей. Однако и в несовершенной системе связи и в системе наблюдения, где нет возможности закодировать состояния сообщения произвольным способом, получаемые данные у обычно недостаточны для того, чтобы произвести безошибочное определение х, и требуется сделать лучшее из того, что возможно. Это «лучшее» заключается в том, чтобы дать наблюдателю относительные вероятности для всех значений х или, другими словами, вычислить для него апостериорное распределение Наблюдатель может затем обращаться с этой информацией так, как ему угодно. Например, он может выбрать наиболее вероятное значение х и считать его правильным, хотя это иногда будет неверно. Апостериорное распределение зависит, как это видно из уравнения (2), от описывающего статистические свойства шума, а также от априорного распределения которое описывает статистическое поведение источника информации. Первая и наиболее очевидная трудность заключается в том, что статистика источника может быть неизвестной. В системах связи можно предполагать, что она поддается определению путем анализа используемого языка или кода, но в системах наблюдения это не всегда возможно.

Рассмотрим, например, априорную вероятность обнаружения самолета некоторой радиолокационной установкой на расстоянии

завтра в 9 часов утра. Если установка расположена на аэродроме с регулярным движением, статистический анализ прошлого может дать нам нужные вероятности в предположении, что движение самолетов представляет собой стационарный случайный процесс. Для большого класса задач, однако, мы не располагаем статистикой либо потому, что она не изучалась, либо вследствие более фундаментального обстоятельства: не существовало ансамбля сходных ситуаций в прошлом, из которого можно было бы вывести определенное суждение.

Столкнувшись с таким затруднением, мы можем попытаться выразить математически полное априорное незнание состояния сообщения, допустив, что все состояния равновероятны (аксиома Байеса), но необходимо заметить, что этот образ действия, если его применять вслепую, может привести к очевидным противоречиям. Такое предположение позволяет образовать некоторое апостериорное распределение; однако оно соответствует образованию некоторой смеси из сведений, содержащихся в новых данных, самих по себе, с некоторым произвольным представлением наших предвзятых суждений. Образование смеси новых сведений с прошлым опытом (или прошлым незнанием) есть то, что мы постоянно делаем в повседневной жизни, и обратная вероятность очень хорошо описывает этот процесс. Едва ли, однако, назначение приемного аппарата состоит в том, чтобы учитывать прошлый личный опыт, который может быть разным у разных наблюдателей. Мы видели уже, что в простых задачах без случайных параметров затруднение может быть полностью обойдено путем исключения из функций приемника операции умножения на априорное Если приемник вычисляет как функцию х при заданном у человек-наблюдатель волен приписывать различным х статистические веса в соответствии с любыми имеющимися у него заранее представлениями. К несчастью, однако даже такой приемник обычно трудно осуществить с помощью достаточно простой аппаратуры. Мы требуем, чтобы приемная аппаратура для каждого принятого колебания указывала не единственное состояние сообщения, а все возможные состояния сообщения, причем каждое со своим значением правдоподобия Создать для этого аппаратуру не проще, чем создать ее для нахождения Если же, как это часто бывает, образовать функцию правдоподобия для всех х практически трудно, то априорное распределение, мы это сейчас увидим, снова причиняет неприятности.

Допустим на минуту, что из практических соображений приемник сделан так, чтобы производить определенный выбор между различными состояниями сообщения; на входе он получает у, а на выходе он выдает значения х. Как должно выбираться это значение Один из методов заключается в том, чтобы с помощью некоторого априорного распределения выбрать то значение х, для которого апостериорная вероятность наибольшая, однако второй пример гл. III, § 8 показывает, что при этом, вообще говоря, происходит разрушение информации. Другое часто применяемое в статистике решение состоит в том, что выбирают то значение х,

которое обращает в максимум а не но этот способ также вызывает возражения. В простых задачах, как задача о бросании монеты в гл. IV, § 2, это решение достаточно, и оно сохраняет информацию. То же справедливо для второго примера гл. III, § 8. Но для многих других задач не существует метода, сопоставляющего у единственное значение х и сохраняющего при этом информацию (см. хотя бы первый пример гл. III, § 8). Мы вынуждены сделать заключение, что выбор определенного значения х не может быть оправдан без ослабления тех идеальных требований, из которых до сих пор исходила теория и без допущения некоторой потери информации. Даже при этом, если не предположить определенного априорного распределения, нельзя выбрать такое значение х, которое давало бы наименьшую потерю, т. е. наибольшее извлечение информации, так как количество получаемой информации не может быть измерено при отсутствии априорного распределения. Коротко говоря, оказывается, что действительно удовлетворительного решения задачи об оценке «точного значения» не существует. К счастью, в радиолокационных задачах бывает обычно возможным получить для всех значений х, и вопрос о точной оценке не возникает.

Вернемся к идеальному плану. Если мы оставим в стороне вопрос о точной оценке, трудности еще не кончаются, так как хотя можно обойти, представляя для всех х, априорные распределения дополнительных параметров не могут быть так легко обойдены. Обозначая некоторый типичный дополнительный параметр через а, мы можем написать

Понятно, что как функция от содержит всю информацию из у. Однако она более, чем достаточна, так как содержит не только нужную -информацию, но и лишнюю -информацию. Единственный способ разрушить -информацию состоит в интегрировании по а, а это нельзя сделать без применения условного априорного распределения а. Итак, вообще говоря, мы должны выбирать между двумя возможностями: получать ненужную, избыточную информацию или конструировать приемник на основе определенных допущений об априорных распределениях всех дополнительных параметров, влияющих на у.

Положение дел обязывает использовать как можао большее количество априорной информации: действительно, сам шум есть лишь совокупность случайных параметров, и вся концепция увеличения отношения сишал/шум основана на применении априорных распределений. Если статистические свойства шума неизвестны, то вообще невозможно разработать какой-либо приемник, за исключением того тривиального, который лишь делает доступным для наблюдателя у, взятый целиком, в его натуральном виде. (Сущность широковещательного приема заключается в фильтрации ненужных станций и шумов: никому не придет в голову выдавать на выходе

приемника полный сигнал, поступающий на антенну.) То обстоятельство, что априорные вероятности нужно использовать как можно полней, иногда даже вводя их с помощью тех или иных допущений, было здесь подчеркнуто потому, что в кругу статистиков существует против этого необычайно сильное предубеждение. Часто нельзя сделать ничего другого: напрасно иногда думают, что простое применение метода максимального правдоподобия позволяет избежать эту трудность.