2. Теорема Бернулли

Из всех теорем теории вероятностей теорема Бернулли дает наиболее наглядное представление о поведении случайных величин. Пусть известно, что некоторое событие имеет вероятность наступить всякий раз, когда проводится некоторое «испытание». «Наступление» или «не наступление» события (мы их обозначим символически 1 и 0) являются несовместимыми признаками. Что мы можем сказать о числе событий, которые наступят, если провести независимых испытаний? Интуиция подсказывает, что следует ожидать примерно пр событий; теорема Бернулли подтверждает и уточняет это высказывание.

Первым шагом является рассмотрение какой-либо произвольной последовательности результатов испытаний, например, Вероятность наступления этой частной последовательности дается

правилом умножения для независимых событий и равна Существует

способов получения трех событий при пяти испытаниях, если учесть различные порядки наступления событий. Здесь все они имеют одинаковую вероятность. Поэтому по правилу сложения общая вероятность наступления трех событий при пяти испытаниях равна

Вероятность наступления событий при испытаниях

Суммарная вероятность наступления любого числа событий в интервале от до равна

Эта суммарная вероятность должна, очевидно, равняться единице. Действительно, (6) является разложением выражения

по теореме бинома.

Распределение Бернулли (5), чаще называемое биномиальным распределением, изображено на рис. 1 для и 50. Наибольшие вероятности находятся в окрестности но вероятность наступления точно пр событий очень мала. Наиболее интересно то, что происходит, если растет при постоянном Пик при пр смещается вправо пропорционально горб становится шире и, следовательно, вероятность наступления точно пр событий становится все меньше, так как сумма всех членов непременно равна единице. Но горб уширяется не пропорционально числу испытаний: его ширина растет как корень квадратный из Следовательно, с ростом отношение числа событий к числу испытаний все ближе и ближе подход Будем выражаться более точно. Можно показать следующее: вероятность того, что наступит число событий, лежащее в интервале

стремится с ростом к единице, как бы ни было мало Это — чрезвычайно важное обстоятельство, лежащее в основе статистики и теории информации. Оно означает следующее: мы можем ожидать, что испытаний дадут число событий, относительное отклонение которого от пр сколь угодно мало, если только достаточно велико; это утверждение есть теорема Бернулли (частный случай закона больших чисел).