ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Законы вероятностей

Если событий равновозможны и только из них обладают некоторым признаком А, то мы говорим, что вероятность А есть Строго говоря, это не является определением вероятности, потому что понятие равновозможных событий здесь предполагается уже известным. Впрочем, с чисто математической точки зрения определения к не требуется, нужен лишь ряд правил сложения и умножения вероятностей, которые затем берутся за основные постулаты теории. Однако изучение теории вероятностей облегчается, ее правила приобретают более наглядный и менее произвольный характер, если с самого начала дается ясная конкретная интерпретация. Такая интерпретация содержится в первом замечании.

Так как вероятность определяется подсчетом равновозможных событий, часто бывает полезно представлять их в форме таблицы. Так

означает, что вероятность признака А равна 3/8, и т. д. Сразу становится очевидным, что вероятность А или В есть Это есть правило сложения. Оно применимо лишь тогда, когда не могут появляться одновременно, другими словами, когда они являются несовместимыми. Если учесть все несовместимые между собой события, то их вероятности при сложении, естественно, должны дать единицу.

Часто случается, что два множества признаков, каждое из которых состоит из ряда несовместимых признаков, должны рассматриваться вместе. Предположим, например, что мы имеем восемь карандашей, три красных четыре черных и один синий Схема (1) представляет равновероятные возможности, если один карандаш выбран наугад. Но те же карандаши могут быть также твердыми или мягими например, следующим образом:

Эта схема означает, что вероятность признака есть 5/8, а вероятность признака К есть 3/8. Теперь предположим, что у

выбранного карандаша проверяется только цвет, и он оказывается А. Это сведение исключает из При этом вероятность изменяется и становится равной Поэтому всегда бывает важно установить, какие факты, имеющие отношение к вероятностям, уже известны. Для краткости обозначим безусловную вероятность через а для того, чтобы отличать вероятность при заданном будем добавлять индекс А. Мы можем теперь сформулировать правило умножения, которое дает совместную вероятность двух признаков. Вероятность равна

Например, если в случае (2) X есть а есть мы имеем три эквивалентных выражения

Если то из уравнения (3) следует, что имеет место также равенство В этом случае знание одного события не влияет на вероятность другого, и мы можем сказать, что статистически независимы. Только в этом случае можно написать правило умножения в той более простой форме

в которой это правило обычно запоминают.

Правила сложения и умножения являются главными аксиомами, лежащими в основе теории вероятностей.