4. Дискретное представление

При описании колебаний, представляющих собой беспорядочный шум, приходится иметь дело не с одной случайной величиной, а с непрерывной последовательностью случайных величин. Возникает вопрос, какое число значений этого колебания в единицу времени в действительности необходимо принимать во внимание.

Это — вопрос о числе степеней свободы, которым, как принято выражаться, обладает колебание: оно определяет число случайных переменных, которые должны войти в совместное распределение вероятностей для колебания как целого. Этот вопрос важен также при изучении сигналов, применяемых для связи. Сколько величин в единицу времени могут быть выбраны произвольно? Теория дискретного представления колебаний помогает дать ответ на подобного рода вопросы. Однако для простоты изложения мы начнем с дискретного представления частотных спектров.

Любая периодическая функция периода может быть представлена линейчатым спектром с частотами линий где

и т. д. Каждая линия (или дельта-функция) имеет амплитуду и фазу, описываемые комплексным числом. Например, линия

соответствует, в силу (3), колебанию

и представляет комплексное колебание основной частоты, амплитуды и фазы Чисто действительное колебание получается комбинированием пары таких колебаний с положительной и отрицательной частотой; так, пара линий

дает колебание

Если выбраны амплитуды и фазы линий при а также амплитуда линии то действительное колебание полностью определено. Составляющие с отрицательными и положительными частотами должны быть комплексно сопряженными и в спектре нет никаких частот кроме

Рассмотрим теперь колебание, совпадающее с периодическим колебанием в течение полупериода с обеих сторон от и равное нулю всюду вне этого интервала. Это новое колебание полностью определяется предыдущим, и поэтому его спектр полностью определяется предыдущими гармоническими составляющими. Пусть первоначальное периодическое колебание с периодом обозначено через и Новое колебание будет тогда

Новый спектр (пара 2, правила 8, 10) есть поэтому

Каждая линия, имеющаяся в расплывается и принимает форму функции Все эти функции складываются и образуют, как изображено на рис. 9, гладкую кривую. Уравнение (27) есть своего рода интерполяционная формула, так как значение V для любой из первоначальных частот равно (с точностью до постоянного множителя высоте линии, находившейся в том месте. Уравнение (27) может быть поэтому записано в таком виде:

при условии, конечно, что равно нулю вне заданного интервала Такова теорема о дискретном представлении по частоте. Подведем итог: спектр любого колебания, равного нулю вне интервала полностью определяется своими значениями на частотах где целые числа. Независимо от того, какими выбраны эти "дискреты", если спектр правильно интерполирован, колебание будет равно нулю вне заданного интервала.

Рис. 9. Интерполяция спектра: а) свертка линейчатого спектра с функцией ; б) результирующий непрерывный спектр.

Если дискреты взяты попарно сопряженными для соответствующих положительных и отрицательных частот, а для взято действительное значение, колебание будет действительным.

Двойник этой теоремы для функций от времени имеет более широкое применение. Пусть не содержит частот вне пределов тогда очевидно

Обращая с помощью правил, имеем

Это — теорема о дискретном представлении во времени. Колебание полностью определяется своими значениями, отстоящими на промежутки где наивысшая присутствующая в нем частота Какие бы значения не были выбраны в этих точках, если интерполяция проводится с помощью функций спектр будет равен нулю вне заданного интервала. Тривиальное обобщение показывает, что временами выборки не обязательно должны быть они могут быть сдвинуты с сохранением одинаковых интервалов Физически это, конечно, очевидно.

Из того, что действительное колебание, имеющее спектр внутри интервала может быть полностью описано значениями, следующими через промежутки времени следует, что оно имеет за время степеней свободы. Подобным образом, если действительное колебание равно нулю вне интервала его спектр определяется комплексными дискретными значениями, разделенными интервалами 1/71 в полосе частот от до (полоса от до не содержит дополнительных степеней свободы). В любом случае это означает, что интервал времени и полоса частот имеют степеней свободы. Этот результат приобрел выдающееся значение в большой степени благодаря работам Хартли [2], Габора [3] и впоследствии Шэннона [4] К