4. Свертка

Предположим, что мы имеем дело с двумя случайными независимыми величинами: первая принимает целочисленные значения и имеет распределение вероятности вторая — целочисленные

значения с распределением вероятности Очень важная задача заключается в том, чтобы найти распределение вероятностей для

Задача решается без затруднений. Обозначим сумму через и рассмотрим фиксированное значение и. Если первая величина имеет значение то вторая должна иметь значение По правилу умножения вероятность получения этих двух частных значений есть

Вероятность получения данного значения и является суммой вероятностей любых комбинаций чисел, дающих в сумме и, т. е. суммой всех произведений типа (25) при переменном Таким образом, искомое распределение будет

Нужно указать, что хотя символ часто употребляется в смысле «вероятность такого то события», символы в (26) означают определенные математические функции, изображающие соответственно вероятности значений С математической точки зрения уравнение (26) указывает некоторый способ объединения двух функций и образования некоторой составной функции. Действительно, иногда называется результантом но термин свертка является более принятым и более однозначным. Мы будем пользоваться следующим обозначением:

Легко показать, что аргументы в равенстве (26) взаимозаменяемы и, следовательно,

Это свойство коммутативности совершенно очевидным образом следует из первоначальной задачи. Следует также отметить, что для любых трех функций и 5 имеет место сотношение

и, следовательно, выражение без скобок имеет единственное значение. Оно описывает распределение вероятностей для суммы трех величин. На этом основании его ассоциативное свойство очевидно.

Рассмотрим теперь формулу свертки более подробно. Предположим, что случайная величина может принимать также значения О, 1, 2 или 3, а -только 0, 1 или 2. Тогда мы имеем

Это можно представить в виде умножения столбиком

Нужно отметить, что это "умножение" изображает настоящее алгебраическое произведение производящих функций Таким образом, мы имеем следующие соответствующие друг другу выражения:

В результате свертывания средние значения и дисперсии складываются. Действительно, если производящая функция для мы имеем

Дифференцируя, получим

В соответствии с (16) мы получим среднее значение положив поэтому

что является первым результатом. Продифференцировав еще раз и используя (18), можно показать, что

где дисперсия и и т. д. Оба эти результата чрезвычайно полезны.

Биномиальное распределение очень наглядно иллюстрирует все сказанное выше. В гл. I, § 2 мы рассматривали испытание, в котором возможными результатами были единицы и нули

соответственно с вероятностями поэтому мы можем написать

и производящая функция такого простого распределения будет

Число единиц, которое получится, если провести независимых испытаний, является суммой результатов каждого испытания. Все испытания имеют одинаковые распределения (34) и одинаковую производящую функцию (35). Таким образом, распределение числа единиц в испытаниях имеет на основании правила (31) производящую функцию

которая непосредственно дает биномиальное распределение порядка. Его среднее значение и дисперсия, пр полученные в гл. I, § 3, пропорциональны , что иллюстрирует уравнения (32) и (33).