2.5. СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ ОБНАРУЖЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ

Рассмотрим модификацию алгоритмов, синтезированных в п. 2.2, для случая непрерывного времени [80].

Пусть вектор наблюдения размером , представленный в непрерывном времени может формироваться в соответствии с двумя гипотезами: Но (сигнал отсутствует) и (сигнал присутствует)

где - -мерный вектор сигнала; мерный вектор шума; матрица размером гауссовы независимые случайные процессы с математическим ожиданием, равным нулю. Ковариационные матрицы наблюдаемого процесса имеют вид:

где - дельта-функция; — символ эрмитовой сопряженности. Полагаем, что сигнал удовлетворяет следующему векторному дифференциальному уравнению:

где матрица размером ; — -мерный вектор гауссова белого шума; — матрица размером

Точка над в (2.5.3) обозначает операцию дифференцирования.

Требуется найти алгоритм обработки сигнала, наилучшим образом различающий гипотезы Но и .

В качестве основы статистического синтеза выберем два вида алгоритмов обнаружения случайных сигналов, рассматриваемых в теории обнаружения.

1. Алгоритм обработки вида

где — выходной сигнал линейной части обработки; матрица может рассматриваться как импульсная переходная характеристика линейной части системы;

2. Алгоритм обработки

использующий представление матрицы в виде

В выражении (2.5.5)

Полагая, что получим

Матрица может рассматриваться как импульсная переходная характеристика линейной части (2.5.8) системы обработки (2.5.5), (2.5.8).

Синтез алгоритмов обнаружения, использующих представление сигнала в пространстве состояний, начнем с рассмотрения процедуры, задаваемой выражениями (2.5.5) и (2.5.8).

Преобразуем уравнение (2.5.7). Умножив обе части уравнения слева на и справа на и проинтегрировав по t и с учетом того, что

(l - единичная матрица), получим

Так как шум наблюдения является белым, это уравнение может быть представлено в виде

Здесь для сохранения аналогии с результатами синтеза дискретных систем считаем дельта-функцию асимметричной, полагая, что

Как показано в прил. П4, выражение (2.5.11) эквивалентно следующему уравнению:

где

штрих обозначает производную (для функции от двух аргументов — по первому аргументу).

При выводе уравнения (2.5.12) полагалось, что верхний предел интеграла и матрицы существуют; если не являются квадратными, то следует рассматривать как квазиобратные матрицы.

Приведем иную форму записи (2.5.13). Умножив обе части выражения (2.5.3) справа на и выполнив статистическое усреднение, получим

откуда

Из (2.5.2) и (2.5.14) следует, что

таким образом,

Заметим, что матрица может рассматриваться как матричный аналог времени корреляции процесса . В частности, для одномерного случая, приняв во внимание, что производная от берется на правом склоне функции корреляции, и устремив получим

где отношение к производной при это отношение может трактоваться как время корреляции процесса для текущего момента времени. Чем выше степень корреляции процесса тем ближе величина к нулю; при процесс приближается к белому шуму.

Рассмотрим уравнение (2.5.12). По аналогии с (2.2.16), будем учитывать только те решения уравнения (2.5.12), которые приводят к равенству нулю предынтегрального выражения этого уравнения для каждого текущего значения . Так как матрица является положительно определенной, то при не равном тождественно нулю, выражение во вторых квадратных скобках (2.5.12) не может быть равно нулю. Следовательно, уравнение имеет нетривиальное решение только при условии

Аналогичное уравнение справедливо и для алгоритма (2.5.4), в чем можно убедиться, умножив справа обе части (2.5.17) на и проинтегрировав по с учетом (2.5.7);

Последние два уравнения определяют матрицы ИПХ линейных частей алгоритмов (2.5.5) и (2.5.4).

Вернемся к выражению, (2.5.8). Продифференцировав получим с учетом (2.5.17)

где ; следовательно,

Применительно к алгоритму (2.5.4) имеем:

Последние два уравнения совместно с уравнениями, выражающими в текущем времени процессы формирования выходных сигналов

определяют структуру синтезированных фильтров обнаружения. Структурные схемы фильтров (2.5.21), (2.5.20) и приведены на рис. 2.7, а и 2.7, 6 соответственно. Необходимо заметить, что структура линейных частей синтезированных фильтров отражает структуру уравнения состояния (2.5.3) и близка к структуре фильтра Калмана-Бьюси 153, 81] (рис. 2.8). Отличие линейных частей синтезированных фильтров от фильтра Калмана-Бьюси, формирующего оценку сигнала, состоит в отсутствии цепи предсказания наблюдаемого сигнала (блока ) и в ином содержании блоков усиления и обратной связи

До сих пор считалось, что элементы матриц представляют собой обычные (гладкие) функции и существуют. В действительности функции являются сингулярными, так как содержат дельта-функции и, следовательно, значения обращаются в бесконечность. Это обусловлено принятой идеализацией, связанной с представлением функции корреляции шумов в виде дельта-функции (при этом энергия шума бесконечно велика), а также с краевыми эффектами, возникающими при решении второго интегрального уравнения

Рис. 2.7. Варианты фильтров обнаружения

Рис. 2.8. Непрерывный фильтр Калмана

(2.5.9). Чтобы придать полученным результатам физический смысл, необходимо «приписать» корреляционной функции шума некоторую конечную ширину, равную времени корреляции, и пренебречь краевыми эффектами при решении второго интегрального уравнения (2.5.9); последнее возможно, если время корреляции сигнала что, начиная с некоторого , как правило, выполняется.

Дадим приближенную оценку коэффициентов усиления и обратной связи синтезированных фильтров и проведем анализ зависимости этих коэффициентов от параметров сигнала и помехи на примере одномерных фильтров. Оценка

основана на переходе в уравнениях (2.5.9) от интегралов к интегральным суммам с интервалом дискретизации, равным времени корреляции шума в первом уравнении и времени корреляции смеси сигнала и шума во втором. Выполнив эту процедуру, получим:

где — средняя в пределах ширины спектра энергетическая спектральная плотность сигнала; . Для рассматриваемого случая . В приводимых соотношениях обозначение возможной зависимости величин от опускается.

Для принятого способа описания сигнала и шума в случае стационарного шума справедливы следующие соотношения для коэффициентов

где Графики, представляющие зависимости (2.5.23) и (2.5.24), приведены на рис. 2.9. Что касается

Рис. 2.9. Зависимости коэффициентов усиления W и обратной связи фильтра обнаружения от отношения времен корреляции сигнала и помехи

коэффициента то, принимая во внимание (2.5.7, можно показать, что он легко вычисляется по известному W помощью соотношения

Полученные соотношения и графики позволяют сделать ряд выводов. В частности, при коэффициенты фильтра стремятся к пределам: Рост значений б за пределы практически не приводи к изменению W (а также и b). Коэффициент обратной связи является отрицательной величиной и с увеличением стремится в пределе к величине которая пр достаточно большом q близка к нулю. Заметим, что, следует из (2.5.19) и (2.5.20), чем ближе к нулю, те выше степень корреляции выходных сигналов линейной части фильтра и, следовательно, тем эффективнее линейная обработка сигнала; наоборот, чем больше по абсолютной величине тем ближе процессы к белому шуму, при этом эффективность обработки сигнала в линейной части фильтра снижается. Из рис. 2. также следует, что с увеличением q как коэффициент усиления, так и коэффициент обратной связи возрастают, обусловлено повышением достоверности поступающей информации.