3.10. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ БИНАРНЫХ МЕДИАННЫХ ФИЛЬТРОВ И ИХ ОБОБЩЕНИЙ

Медианный фильтр для обработки одно- и двухмерных сигналов (изображений) известен давно [11, 45]. В случае обработки бинарных изображений возможно применение медианной фильтрации, но с некоторыми особенностями, вызванными тем, что выход медианного фильтра должен быть бинарным.

Естественной представляется следующая интерпретация понятия медианы для исходной бинарной последовательности: медиана должна заменяться на «1» и. «0» в зависимости от имеющейся информации в фильтре заданной апертуры с общим числом пикселей, равным N (N — нечетное число для однозначности принимаемого решения).

Пусть, например, . Тогда центральному элементу апертуры присваиваем значение «1», если в этом окне число единиц При наличии подряд двух единиц дальнейшее считывание информации нецелесообразно [76]. Обозначим медианные фильтры как , где соответствует одномерному фильтру, двухмерному фильтру.

Чтобы получить математические модели бинарных медианных фильтров в виде конечных цепей Маркова и исследовать вероятностную эффективность рассматриваемых фильтров, предположим статистическую независимость в совокупности исходной бинарной последовательности.

Начнем с фильтра . Выход фильтра будет равен «1», если в результате съема информации возникнет одна из трех комбинаций . В случае комбинаций «00», либо «100», либо «010» выходом из фильтра будет «0» [76]. Фильтрация осуществляется последовательным перемещением слева направо (или сверху вниз) апертуры фильтра на один пиксель. В результате матрица вероятностей переходов

размером 6X6 бинарного медианного фильтра будет иметь вид

Полученная цепь Маркова будет регулярной и, к сожалению, не допускает укрупнения [28]. Это, в свою очередь, свидетельствует о том, что случайная бинарная последовательность на выходе бинарного медианного фильтра не является цепью Маркова, а представляет собой более сложный и пока не изученный случайный процесс.

Цепь (3.10.1) позволяет вычислить вероятностную эффективность фильтра под которой будем понимать предельные (устоявшиеся) вероятности «единиц» и «нулей» выхода медианного фильтра. Для этого необходимо с помощью векторно-матричного выражения дополненного условием нормировки, рассчитать вектор предельных вероятностей всех шести состояний цепи (3.10.1).

Вероятность того, что выход медианного фильтра равен единице получается суммированием первых трех координат вектора

Аналитический расчет дает

Перейдем к фильтру (3/5). Фильтрация осуществляется аналогично предыдущему случаю. Число реализаций, приводящих к присвоен выходу медианного фильтра значения «1», равно число реализаций, приводящих к присвоению выходу медианного фильтра значения «0», равно Следовательно, число состояний синтезированной цепи Маркова

Элементы матрицы вероятностей переходов формируются легко, например,

Таким образом, получим следующую матрицу вероятностей переходов фильтра Вероятность определяется суммированием первых десяти координат вектора предельных вероятностей всех двадцати состояний цепи

Перейдем к двухмерному крестообразному бинарному медианному фильтру в котором опрос исходной последовательности происходит в следующей очередности:

Элементы матрицы вероятностей переходов формируются просто. Например, . В результате получим следующую матрицу вероятностей переходов крестообразного медианного фильтра

При обработке полутоновых изображений понятие медианного фильтра обобщается в том смысле, что выходом фильтра может являться не только медиана, а любая порядковая статистика (так называемые процентильные фильтры [11]). Процентильная фильтрация (соответствующие фильтры будем называть бинарными процентильными фильтрами) возможна и для бинарных изображений и заключается в том, что выходному значению фильтра присваивается «1» при любом (наперед заданном) значении числа единиц. При имеем бинарный медианный фильтр, при бинарный аналог левой (правой) экстремальной статистики.

Процентильная фильтрация может применяться для сжатия или расширения объектов [11]. Например, фильтр (3/3) изображение вида преобразует к виду то же изображение фильтр преобразует к виду Для этих фильтров матрицы вероятностей переходов , векторы и вероятности представим в виде

(см. скан)

(см. скан)

При имеем бинарные процентильные фильтры при двумерной крестообразной апертуре — фильтры

По указанной методике можно получить матрицы вероятностей переходов всех восьми бинарных процентильных фильтров. В табл. 3.23-3.25 представлены значения вероятностей эффективности при фильтрации помеховых изображений и сигнальных областей исходных изображений а также значения числа шагов (числа перемещений апертуры фильтров), при котором достигаются предельные вероятности Другими словами, в таблицах приведены те значения , при которых исходные матрицы синтезированных цепей Маркова имеют одинаковые строки, каждая из которых равна (понимается поэлементное равенство) вектору предельных вероятностей Например, матрицы вероятностей переходов фильтров (1/3) и (3/3) [см. выражения (3.10.6)] примут вид

Таблица 3.23

Таблица 3.24

Таблица 3.25

Данные табл. 3.23-3.25 свидетельствуют о том, что одно- и двухмерные фильтры с одними и теми же правилами принятия решений имеют одинаковую вероятностную эффективность. Однако двухмерные фильтры обладают более быстрой сходимостью к предельным результатам, что обусловлено структурой исходных матриц вероятностей переходов: матрицы вероятностей переходов двухмерных фильтров «более» регулярные, чем соответствующие матрицы вероятностей переходов одномерных фильтров. Выбор конкретного фильтра обусловлен особенностями рассматриваемых задач.

Методика, изложенная в настоящем параграфе, позволяет синтезировать матрицы вероятностей переходов любых бинарных медианных и процентильных фильтров (при любых числах N и и анализировать их вероятностную эффективность.