2.4. РЕКУРРЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ НА ФОНЕ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ПОМЕХ И ШУМОВ

Полученные в 2.2 алгоритмы синтезированы при условии некоррелированности во времени помех и шумов, что заметно ограничивало область их применения. В данном разделе указанное ограничение снимается; показано, что полученные ранее результаты служат непосредственной основой для решения задачи обнаружения стохастических сигналов на фоне смеси коррелированных стохастических помех и коррелированных шумов, что существенно расширяет сферу практического применения полученных алгоритмов.

Пусть -мерный вектор заданный в дискретном времени может формироваться в соответствии с двумя гипотезами: (сигнал отсутствует) и (сигнал присутствует):

Здесь -мерный вектор сигнала; -мерный вектор помехи; -мерный вектор шума; матрица размера матрица размера нормально распределенные независимые случайные векторы; их средние значения равны нулю.

Ковариационные матрицы наблюдаемого процесса имеют следующий вид:

Матрицы представляют собой блочные квадратные симметрические матрицы с числом блоков в каждой и числом элементов в каждом из блоков равным

Сигнал и помеха могут быть представлены марковскими векторными дискретными случайными процессами и являются решениями следующих разностных уравнений:

где матрицы размеров, соответственно, матрицы размеров, соответственно, и -мерный и -мерный векторы некоррелированных взаимно независимых нормальных дискретных случайных процессов;

Требуется найти алгоритм обработки сигнала, обеспечивающий наилучшее различение гипотез с учетом соотношений (2.4.5) и (2.4.6).

Покажем сначала, что решение сформулированной задачи сводится, по существу, к решению задач обнаружения сигналов на фоне

некоррелированных во времени нормально распределенных шумов .

Известно, что достаточная статистика, на основе которой решается поставленная задача, может быть выражена следующим образом:

где представляют собой — блоки обратных ковариационных матриц

Матрица может быть представлена следующим образом:

где и выражение (2.4.7) с учетом этого приобретает вид

Последние два соотношения выражают достаточную статистику для задач обнаружения сигналов [соотношение (2.4.9)] и [соотношение (2.4.10)] на фоне некоррелированных шумов ).

Таким образом, задача обнаружения сигнала на фоне смеси коррелированных во времени помех и некоррелированных шумов сводится к обнаружению стохастических сигналов на фоне некоррелированных шумов Рекуррентные соотношения, решающие последнюю задачу, синтезированы в разделе 2.2. Опираясь на них, приведем алгоритмы обнаружения сигнала на фоне смеси коррелированных помех и шумов

В соответствии с п. 2.2 возможны два варианта таких алгоритмов. Первый вариант состоит в формировании разности оценок достаточных статистик текущее дискретное время,

Процессы представляют собой выходные эффекты систем обнаружения сигналов на фоне шумов и формируются в соответствии со следующими рекуррентными соотношениями:

По результатам сравнения величины в зависимости от используемого критерия обнаружения, с установленным порогом (или порогами) принимается решение о справедливости одной из гипотез или

Следует отметить, что на практике реализацию данного алгоритма для сокращения числа используемых операций целесообразно выполнять несколько иначе, а именно: выходные сигналы с блоков, осуществляющих линейные рекуррентные процедуры (2.4.13) и (2.4.15), должны поступать на вычитающее устройство, где формируется разность

после чего следует произвести нелинейную обработку наблюдаемого сигнала:

Таким образом, первый вариант алгоритма, решающего задачу обнаружения сигнала на фоне помехи выражается соотношениями (2.4.17), (2.4.16), (2.4.13) и (2.4.15).

На рис. 2.5, а представлена структурная схема линейной части полученного алгоритма, реализующая соотношения (2.4.13) и (2.4.15), а на рис. 2.5,6 - полная структурная схема алгоритма (2.4.13), (2.4.15) — (2.4.17). Блоком узад. на рисунке обозначена схема временной задержки на один такт; матричные параметры играют роль коэффициентов усиления линейных трактов системы обработки, а параметры коэффициентов обратной связи. Приведем соотношения, позволяющие получить эти параметры.

Рис. 2.5. Вариант алгоритма обнаружения

Как показано в п. 2.2, матричный параметр определяется следующим соотношением:

где матрица входящая в разностное уравнение для процесса

может быть вычислена по формуле

В последнем выражении

Вывод данной формулы приведен в прил. П3.

Матричный параметр представляет собой матрицу для в свою очередь,

Матрица вычисляется решением матричного уравнения

где единичная матрица размера Заметим, что в соотношении

Матричные параметры входящие в (2.4.15), определяются из соотношений:

причем

или, если матрица существует,

матрица вычисляется из уравнения

В выражении (2.4.23)

Приведем второй вариант алгоритма обнаружения. Он может быть выражен в виде рекуррентных соотношений для выходного эффекта системы обнаружения и выходных сигналов линейных частей алгоритма

На рис. 2.6, а изображена структурная схема линейной части алгоритма, решающего задачу обнаружения сигнала на фоне шумов Эта схема входит в качестве элемента в общую структурную схему алгоритма (2.4.29)-(2.4.31) обнаружения сигнала на фоне помех и шумов представленную на рис. Матричные параметры входящие в (2.4.30) и (2.4.31) и играющие роль коэффициентов усиления линейных частей алгоритма, определяются из соотношения (2.2.12):

Рис. 2.6. Вариант алгоритма обнаружения

С помощью синтезированных алгоритмов может быть решена задача обнаружения стохастического сигнала на фоне любого сочетания стохастических помех и шумов. Необходимо заметить, что приведенные алгоритмы решают, по существу, двухальтернатиную задачу распознавания сигналов

Полученные алгоритмы обнаружения стохастических сигналов, поступающих с различного рода помехами и шумами, выражены в виде рекуррентных соотношений, представленных в дискретном времени. Это позволяет реализовать эти алгоритмы на базе цифровой вычислительной техники для решения задач обнаружения в многомерных фазовых пространствах.