4.3.3. ОСОБЫЕ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Ck

Скалярное произведение в действительном координатном пространстве позволяет ввести не только норму для вектора этого пространства, но и обобщить понятие угла между векторами:

Величину, задаваемую выражением вида (4.3.24), будем называть нормированным скалярным произведением (НСП). В пространстве НСП в общем случае является комплексной величиной и не может быть косинусом какого-либо действительного угла [30]. Рассмотрим более подробно вопрос о том, какие характеристики ВК задает их скалярное произведение в пространстве

Экстремальное свойство НСП в . В соответствии с неравенством Коши-Буняковского для комплексных чисел имеем

причем равенство возможно лишь при где произвольное комплексное число. На основании выражений (4.3.24) и (4.3.25) можно заключить следующее.

Положение I. Модуль НСП в пространстве

равен нулю, если ВК Г и N ортогональны, т. е. максимально несхожи, и принимает максимальное значение, равное единице, если Г и N — это один и тот же контур, причем контур может быть повернут относительно контура Г на произвольный угол и изменен в масштабе в раз. НСП в пространстве проявляет близкие экстремальные свойства. Однако в силу действительного характера множителя X вектор-контуры Г и имеют значение НСП, не достигающие единицы. Таким образом, НСП в позволяет обнаружить высокую степень близости для значительно больших значений ВК, чем в

Положение 2. Максимальное значение модуля НСП в инвариантно к преобразованию поворота ВК, т. е. если

то НСП (4.3.25) сохраняет свое экстремальное значение независимо от угла поворота

При этом НСП в таким свойством не обладает.

Положение 3. Значение максимума модуля НСП инвариантно к изменению масштаба контура за счет растяжения каждого его элементарного вектора в раз. Положение справедливо для НСП в пространствах

Инвариантность максимума модуля НСП в С к углу поворота контура позволяет считать повернутые относительно друг друга контуры одними и теми же, в то время как НСП в не позволяет сделать такой вывод. В случае, когда угол будет равен значению расстояние между этими контурами было бы максимально возможным, что свидетельствовало о наибольшей несхожести этих контуров, а НСП в показало бы, что мы имеем дело с одним и тем же контуром.

Так как цепные коды обладают инвариантностью к сдвигу контура в плоскости рецепторного поля, то НСП в представляет собой характеристику близости двух контуров, инвариантную к линейным преобразованиям сдвига, поворота и масштаба (трансляции, ротации и гомотетии). Покажем, что инвариантность модуля НСП в тройке линейных преобразований ВК относится не только к его экстремальному значению, но и к модулю произвольного значения ВК.

Действительно, используя показательную форму для комплексного числа, запишем:

где соответственно, аргументы элементарных векторов контуров Г и N. Умножая обе части этого выражения на получим

Из последнего выражения следует, что в этом случае модуль НСП не меняется, так как аргументы всех комплексных слагаемых получили одинаковое приращение, что не повлияло на их соотношение, а изменение масштаба одновременно с

изменением модуля скалярного произведения привело к такому же росту нормы одного из ВК.

Показательная и тригонометрическая формы скалярного произведения в пространстве . Запишем на основании (4.3.28) выражения для скалярного произведения в С в показательной и тригонометрической формах:

где

Для случая, когда будем иметь:

Из выражения (4.3.31) следует, что линейные преобразования контура приводят к аналогичным преобразованиям вектора скалярного произведения ВК. В этом случае

По результатам проведенного в этом разделе анализа можно сделать следующие выводы.

1. Скалярное произведение в является в общем случае комплексным числом. Вследствие изометричности пространств значения норм ВК в них совпадают. Реальная часть скалярного произведения в равна значению скалярного произведения в Таким образом, скалярное произведение в включает в себя скалярное произведение в как частный случай и поэтому обладает большой информативностью.

2. Модуль нормированного скалярного произведения ВК в пространстве является характеристикой близости двух контуров, инвариантной к линейным преобразованиям сдвига, поворота и масштабирования контуров. Скалярные произведения ВК в пространствах и таким свойством не обладают.

3. Поворот контура на угол приводит к такому же преобразованию вектора скалярного произведения ВК,

соответствующих исходному и преобразованному контурам. Поэтому аргумент вектора скалярного произведения в равен углу поворота контура.

Таким образом, комплексное линейное пространство является предпочтительным для представления контуров изображений.