5.7.2. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НОРМЫ ШУМОВОГО ВЕКТОР-КОНТУРА

Найдем числовые характеристики и рассмотрим поведение распределения вероятностей нормы шумового ВК с ростом числа компонент [75]. С учетом выражения для плотности

вероятности нормы математическое ожидание имеет вид

Для нахождения воспользуемся табличным интегралом (4.6.2). В результате получим

где

Учитывая, что [58]

получаем рекуррентное соотношение для позволяющее проводить вычисления математического ожидания нормы с ростом размерности ВК:

где

Учитывая, что получаем, что при больших значениях k математические ожидания норм шумовых ВК больших размерностей слабо отличаются друг от друга, т. е.

Получим теперь выражение для среднего квадрата и дисперсии нормы шумового ВК:

С учетом значения табличного интеграла (4.6.2) находим

Далее

С ростом размерности ВК дисперсия его нормы при больших значениях k очень слабо зависит от величины что следует из асимптотического выражения для гамма-функции

[см. (4.6.5) ]. С учетом (4.6.5) получим

Подставив (5.7.15) в (5.7.14), убедимся в слабой зависимости при больших значениях к дисперсии нормы ВК от размерности к. На рис. 5.2 приведет зависимость относительного значения дисперсии от к. Как следует из графика, при увеличении размерности ВК от 10 до 250 относительная дисперсия его нормы увеличилась с 0,4936 до 0,9491, т. е. менее чем в два раза. При этом среднеквадратическое отклонение возросло еще меньше — в 1,4 раза.

Распределение при является распределением с k степенями свободы. Выражения для моментов и характеристической функции для этого распределения имеют вид [31]:

Рассмотрим поведение распределения с ростом При

представляет собой распределение Релея. Затем по мере роста k кривая плотности распределения становится все более симметричной и в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей стремится к гауссовой (рис. 5.3). Уже при распределение вероятностей нормы шумового ВК становится нормальным:

Рис. 5.2. Зависимость относительной дисперсии нормы шумового ВК от размерности вектора

Рис. 5.3. Плотности распределения вероятности нормы шумового вектора

Как следует из выражений (5.7.10) и (5.7.15), при больших значениях k математическое ожидание нормы

С учетом этого

Так как математическое ожидание нормы шумового ВК увеличивается пропорционально т. е. значительно быстрее, чем среднеквадратическое отклонение нормы, то с учетом нормализации распределения получаем, что случайные значения при с вероятностью, достаточно близкой к единице, располагаются в интервале

причем в правой части интервала и

В связи с тем, что норма характеризует длину многомерного вектора, задающего контур изображений в виде точки -мерного линейного комплексного пространства, последние выражения показывают, что эти точки не заполняют более или менее равномерно часть пространства в окрестности т. О—начала координат, а концентрированно располагаются внутри узкого гиперсферического слоя сравнительно постоянной ширины со значениями радиусов

Возникновение внутренней, объединенной точками контуров гиперсферы вызвано причиной, рассмотренной в 4.6.1.