5.7.2. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НОРМЫ ШУМОВОГО ВЕКТОР-КОНТУРА
Найдем числовые характеристики и рассмотрим поведение распределения вероятностей нормы шумового ВК с ростом числа компонент [75]. С учетом выражения для плотности
вероятности нормы математическое ожидание имеет вид
Для нахождения
воспользуемся табличным интегралом (4.6.2). В результате получим
где
Учитывая, что [58]
получаем рекуррентное соотношение для
позволяющее проводить вычисления математического ожидания нормы с ростом размерности ВК:
где
Учитывая, что
получаем, что при больших значениях k математические ожидания норм шумовых ВК больших размерностей слабо отличаются друг от друга, т. е.
Получим теперь выражение для среднего квадрата
и дисперсии
нормы шумового ВК:
С учетом значения табличного интеграла (4.6.2) находим
Далее
С ростом размерности ВК дисперсия его нормы при больших значениях k очень слабо зависит от величины
что следует из асимптотического выражения для гамма-функции
Рис. 5.2. Зависимость относительной дисперсии нормы шумового ВК от размерности вектора
Рис. 5.3. Плотности распределения вероятности нормы шумового вектора
Как следует из выражений (5.7.10) и (5.7.15), при больших значениях k математическое ожидание нормы
С учетом этого
Так как математическое ожидание нормы шумового ВК увеличивается пропорционально
т. е. значительно быстрее, чем среднеквадратическое отклонение нормы, то с учетом нормализации распределения
получаем, что случайные значения при
с вероятностью, достаточно близкой к единице, располагаются в интервале
причем в правой части интервала
и
В связи с тем, что норма
характеризует длину многомерного вектора, задающего контур изображений в виде точки
-мерного линейного комплексного пространства, последние выражения показывают, что эти точки не заполняют более или менее равномерно часть пространства в окрестности т. О—начала координат, а концентрированно располагаются внутри узкого гиперсферического слоя сравнительно постоянной ширины со значениями радиусов
Возникновение внутренней, объединенной точками контуров гиперсферы вызвано причиной, рассмотренной в 4.6.1.