5.5. ПРОХОЖДЕНИЕ ЗАШУМЛЕННОГО ВЕКТОР-КОНТУРА ЧЕРЕЗ КСФ

5.5.1. МОДЕЛЬ ЗАШУМЛЁННОГО ВК

Рассмотрим в рамках аддитивной модели процесс фильтрации КСФ зашумленного ВК, т. е.

где — соответственно зашумленный, эталонный и шумовой ВК, причем

Случайные величины обладают свойствами, задаваемыми выражениями (5.4.2) и (5.4.3), и подчиняются равномерному или нормальному законам распределения вероятностей.

Для принятой модели сигнала и шума, определяемой выражением (5.5.1), получим статистические характеристики выходного вектора КСФ.

5.5.2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ ВЕЩЕСТВЕННОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЕЙ ЗАШУМЛЕННОГО ВЫХОДНОГО ВЕКТОРА КСФ

В разделе 5.4.3 было показано, что при подаче на вход КСФ широкополосного шума вещественная и мнимая части выходного шума будут некоррелированными. Покажем, что это соотношение сохраняется для выходного вектора КСФ и при подаче на вход зашумленного ВК

Выходной вектор КСФ при

Определим математические ожидания вещественной и мнимой частей

Запишем выражение для корреляционного момента вещественной и мнимой частей :

Тогда

При перемножении сумм для одного и того же значения аргумента получаются слагаемые следующих видов:

После перемножения и усреднения для этих сомножителей получаем соответствено:

Для неравных между собой значений аргументов в суммах выражения также получаем четыре вида сомножителей, для которых после усреднения можно записать соответственно:

С учетом выражений (5.5.7) и (5.5.8) для искомого корреляционного момента

5.5.3. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ЗАШУМЛЕННОГО ВЫХОДНОГО ВЕКТОРА КСФ

Закон распределения вещественной и мнимой частей выходного вектора. Как следует из выражения (5.5.3), действительная и мнимая части выходного вектора КСФ при фильтрации зашумленного ВК являются результатами суммирования большого количества равномерно или нормально распределенных случайных величин и поэтому подчиняются нормальному закону распределения. При этом математические ожидания и дисперсия величин и их корреляционный момент соответственно:

Для плотности распределения вероятностей величин с учетом выражения (5.5.10) запишем:

Плотность распределения вероятностей модуля и аргумента выходного вектора. Перейдем к определению плотности распределения вероятностей модуля и аргумента выходного вектора КСФ. При этом

Якобиан преобразования по-прежнему равен Тогда

Плотность распределения вероятности модуля выходного вектора. Интегрируя распределение по всем значениям аргумента выходного вектора , получим распределение вероятности его модуля

где модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента.

Учитывая неотрицательность величины модуля вектора, для плотности распределения вероятности его модуля при фильтрации зашумленного контура можно записать:

Таким образом, рассматриваемая случайная величина подчиняется распределению Райса.

Рассмотрим случай больших отношений сигнал/шум. При этом выходной эффект КСФ целиком определяется В К фильтруемого контура изображения, т. е.

и

При выполнении последнего условия для модифицированной функции Бесселя существует следующее разложение в ряд:

В данном случае

и с учетом выражения (5.5.14) получим

Подставляя выражение (5.5.17) в выражение (5.5.13), получим

Из (5.5.18) следует, что при выполнении условия (5.5.14) или (5.5.15) распределение вероятностей модуля выходного зашумленного вектора КСФ близко к нормальному. При этом математическое ожидание модуля вектора

Выразим распределение (5.5.13) через параметр, определяющий отношение сигнал/шум по длине на выходе КСФ

Введя переменную

и переходя к ней в распределении (5.5.13), получим

Плотность распределения вероятности аргумента выходного вектора. Перейдем к определению распределения вероятностей для . Интегрируя распределение по всем значениям модуля получаем выражение для плотности вероятности аргумента выходного вектора КСФ при фильтрации зашумленного вектора

Последнее выражение приводится к виду

где табулированный интеграл вероятности. При т. е. при достаточно большом отношении сигнал/шум распределение переходит в нормальное, а при все значения аргумента выходного вектора становятся равновероятными [60].

Плотность вероятности квадрата модуля зашумлённого выходного вектора. Введем переменную

и перейдем к этой переменной в выражении (5.5.22).

Обратная функция двузначна, но с учетом того, что амплитуда всегда положительна, имеет смысл только положительное значение v. Тогда и

Из анализа выражения (5.5.25). следует, что с ростом величины отношения сигнал/шум вид распределения начинает Все больше отличаться от экспоненциального, появляются хорошо выраженный максимум и тенденция к нормализации [6].