2.2. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ, ЗАДАННЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Будем считать, что мерный вектор наблюдения представленный в дискретном времени может формироваться в соответствии с двумя гипотезами: Но (сигнал отсутствует) и (сигнал присутствует):

где мерный вектор сигнала; -мерный вектор шума; Н — матрица размерности переводящая вектор сигнала в пространстве наблюдаемых векторов.

Полагаем, что нормально распределенные независимые случайные векторы, средние значения которых равны нулю.

Ковариационные матрицы наблюдаемого процесса имеют следующий вид:

где символ Кронекера; символ статистического усреднения.

Матрицы представляют собой блочные квадратные симметрические матрицы с числом блоков в каждой и числом элементов в блоках

Будем полагать, что для сигнала справедлива линейная марковская модель, то есть сигнал является решением линейного разностного уравнения:

где — матрица размера ; -мерный вектор нормального дискретного белого шума; - матрица - размера ;

Найдем алгоритм обработки сигнала, наилучшим образом различающий гипотезы

Достаточная статистика, представляющая собой выходной эффект системы оптимальной обработки, может быть выражена следующим образом [39, 6, 57, 53]:

где

матрицы представляют собой блоки обратных ковариационных матриц

Рассмотрим следующие два алгоритма обработки сигнала, основанные на выражении (2.2.4).

1. Алгоритмы обработки вида

где

выходной сигнал линейной части системы обработки; матрица может рассматриваться как дискретная импульсная переходная характеристика (ИПХ) линейной части системы. Заметим, что

Алгоритм обработки, использующий представление матрицы в виде [62, 15]:

Представление (2.2.8) справедливо для любой симметрической матрицы Рассматриваемый алгоритм может быть выражен следующими соотношениями:

или

где

Представление матрицы (2.2.5) в виде (2.2.8) не определяет однозначно вид матрицы Для устранения этой неоднозначности будем считать, что матрица подобно матрице удовлетворяет свойству

Заметим, что свойство (2.2.11) позволяет свести алгоритм обработки сигнала (2.2.9) к рекуррентному виду. Учитывая выражение (2.2.11), соотношения (2.2.8) и (2.2.10) могут быть преобразованы к виду:

матрица может рассматриваться как дискретная импульсная переходная характеристика (ИПХ) линейной части системы обработки, задаваемой соотношениями (2.2.12) и 2.2.13).

Проведем синтез алгоритмов обнаружения, используя представление сигнала в пространстве состояний (2.2.3). Нач нем рассмотрение с алгоритма, задаваемого (2.2.9) и (2.2.13) Результаты, относящиеся к алгоритму (2.2.6) и (2.2.7), буду! получены как следствие результатов рассмотрения алгоритм (2.2.9) и (2.2.13).

Преобразуем уравнение (2.2.12) для матрицы Умножив обе части этого уравнения справа на слева на и просуммировав полученные выражения по i и с учетом того, что

( единичная матрица), получим

Так как шум наблюдения является белым, последнее уравнение может быть представлено в виде

Как показано в прил. 1, уравнение (2.2.15) эквивалентно следующему разностному уравнению:

где

При выводе соотношений (2.2.17) и (2.2.18) полагалось, что входящие в них обратные матрицы существуют; если не является квадратной матрицей, то следует рассматривать как квазиобратную матрицу [35].

Пусть в уравнении Для того, чтобы матрица для данного к не зависела от аналогичной матрицы, соответствующей другим значениям k (как это наблюдается при синтезе фильтра Калмана ), будем рассматривать только те решения уравнения (2.2.16), которые приводят к равенству нулю выражения под знаком суммы (2.2.16) на каждом шаге наблюдения. Так как матрица является положительно определенной, то при не равном тождественно нулю, выражение во вторых квадратных скобках не может быть равным нулю. Следовательно, это уравнение имеет нетривиальное решение только в том случае, когда выполняется условие

откуда

где

Уравнение (2.2.19) определяет матрицу импульсных переходных характеристик системы . Из него может быть найдена связь между матрицей определяющей алгоритм обнаружения (2.2.6) и (2.2.7), и параметрами, описывающими пространство состояний. Умножив справа обе части уравнения на и просуммировав по k, с учетом (2.2.12) получим

Таким образом, уравнения для матрицы импульсных переходных характеристик линейной части алгоритмов (2.2.6), (2.2.7) и (2.2.9), (2.2.13) идентичны.

Вернемся к выражению (2.2.13) для линейной части системы обработки сигнала (2.2.9). Это выражение с учетом (2.2.19) может быть записано в следующей форме:

откуда

Данная формула представляет собой в рекуррентном виде алгоритм функционирования линейной части системы обработки; параметр коэффициент усиления линейной части системы.

Структура рекуррентного фильтра определяется соотношениями (2.2.9) и (2.2.22), к которым необходимо добавить начальное условие для последнего разностного уравнения

Применительно к алгоритму обработки (2.2.6) и (2.2.7) аналогичное рекуррентное соотношение имеет вид:

Структурные схемы синтезированных алгоритмов приведены на рис. 2.1 [(алгоритм (2.2.6) и (2.2.23)] и рис. 2.2 [(алгоритм (2.2.9), (2.2.22)]. Линейная часть синтезированных алгоритмов обнаружения (обведенная на рисунках пунктиром) по своей структуре близка к фильтру Калмана (для сравнения схема дискретного фильтра Калмана, формирующего оценку сигнала ), приведена на рис. 2.3). Отличие состоит в отсутствии цепи «предсказания» наблюдаемого сигнала (блока ) и в ином содержании блоков усиления и блоков преобразования сигнала . Структурная близость полученных алгоритмов и фильтра Калмана обеспечивает возможность их реализации на общей технической основе и взаимного преобразования путем изменения соответствующих математических процедур. Указанное обстоятельство позволяет использовать единые системные элементы как для обнаружения, так и для последующей фильтрации обнаруженного сигнала.

Заметим, что синтезированный алгоритм (рис. 2.1) в общем случае требует знания N элементов матрицы матричных блоков в то время как классические алгоритмы [39, 53, 6, 82 и др.] основаны на использовании всех элементов матрицы W. Это существенно упрощает работу синтезированного алгоритма. Кроме того, как показано будет в п. 2.3, для стационарного

Рис. 2.1. Вариант структурной схемы рекуррентного алгоритма обнаружения

Рис. 2.2. Вариант структурной схемы рекуррентного алгоритма обнаружения

Рис. 2.3. Дискретный фильтр Калмана

случая вообще достаточно только двух матричных блоков — коэффициентов усиления и обратной связи.