5.4.4. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ШУМА НА ВЫХОДЕ КСФ

Плотность распределения вероятностей вещественной и мнимой частей вектора. Выходной эффект КСФ при подаче на вход шумового ВК имеет вид

где

При этом по-прежнему независимые случайные величины с характеристиками, задаваемыми выражениями (5.4.2) и (5.4.3).

Для момента можно записать:

Из последнего выражения видно, что как действительная, так и мнимая части являются результатом суммирования большого количества равномерно взвешенных (при близких значениях случайных величин. Поэтому можно считать, что для протяженных контуров законы распределения как действительной так и мнимой частей комплексной выходной величины близки к нормальному.

Рассматривая как двухмерную нормально распределенную случайную величину с корреляционным моментом выражение (5.4.20)], для плотности ее вероятности можно записать:

Вследствие нормальности закона распределения значений вероятностей действительной и мнимой частей из некоррелированности этих частей следует их независимость.

Плотность распределения вероятности модуля и аргумента выходного шумового вектора. Перейдем в распределении от переменных туш и к переменным т. е. к модулю и аргументу выходного шумового вектора При этом учитываем следующие связи:

Якибиан этого преобразования

Тогда

Плотность распределения вероятности модуля выходного шумового вектора. Для получения выражения плотности модуля выходного шумового вектора КСФ проинтегрируем полученное выражение по всем значениям :

Из последнего выражения следует, что модуль выходного шумового вектора распределен по закону Релея. При этом среднее значение модуля [2]

дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Плотность распределения вероятностей агрумента выходного шумового вектора. Для получения плотности вероятностей распределения агрумента выходного шумового вектора проинтегрируем двухмерную плотность вероятностей по всем значениям

Учитывая, что [20]

для плотности получаем

Таким образом, аргумент выходного шумового вектора подчиняется равномерному закону распределения вероятностей. Среднее значение аргумента

а дисперсия

Плотность распределения вероятности квадрата модуля выходного шумового вектора.

Квадрат модуля часто является частью выходного эффекта КСФ в связи, с тем, что с вычислительной точки зрения удобно определять величину квадрата модуля нормированного скалярного произведения

В этом случае отпадает необходимость в процедуре нахождения квадратного корня при определении

Выше было показано, что плотность распределения вероятности модуля выходного шумового вектора подчиняется закону Релея:

Вводя новую случайную величину по правилам нахождения преобразованных плотностей получаем, что квадрат модуля выходного шумового вектора КСФ (пропорциональный мощности выходного шума) подчиняется экспоненциальному закону распределения вероятности [60]:

С учетом выражений для числовых характеристик экспоненциального распределения вероятностей получаем следующие соотношения [2]:

среднее значение квадрата модуля

дисперсия квадрата модуля