4.3.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВЕКТОР-КОНТУРОВ

Контур изображения или его фрагмент, заданный в виде последовательности ЭВ, будем рассматривать как элемент одного из линейных пространств или Этот элемент будем называть вектор-контуром (ВК) и обозначать прописными

буквами греческого алфавита а соответствующие им ЭВ — строчными где — номер ЭВ при произвольно, в общем случае, выбранном нулевом векторе Конечной целью рассмотрения свойств каждого из пространств будет выбор одного из них для наиболее эффективного решения задачи распознавания изображений по их контурам на основе анализа в пространственной области, т. е. на основе формирования такой статистики, как скалярное произведение при координатном представлении ВК [27]. В связи с такой постановкой конечной задачи в данном разделе будут рассмотрены характеры линейных преобразований и скалярное произведение в каждом из пространств. При этом под поворотом контура Г на угол будем понимать линейное преобразование, при котором на этот угол поворачивается каждый элементарный вектор контура, т. е.

Аналогично под изменением масштаба контура в раз будем понимать линейное преобразование, при котором каждый элементарный вектор контура растягивается в раз, т. е.

Рассмотрение пространств базируется на результатах раздела 4.3.1, где исследованы свойства этих пространств для одномерного случая, когда их элементами служат не ВК, а элементарные векторы контуров.

Пространство Пространство является действительным координатным пространством [22], в котором ВК представляется упорядоченным набором из k чисел где аргумент ЭВ контура.

В пространстве ВК задается в виде

Два ВК равны, если

Определим линейные операции в соотношениями

Рис. 4.8. Противоположные контуры

— действительное число.

Суммарный ВК Р получаем из компонент ВК Г поворотом каждого из них на соответствующий угол

Нулевой ВК состоит из нулевых ЭВ и в связи с этим не замкнут. Представим два контура (рис. 4.8), которые описываются противоположными ВК. При одинаковой форме они отличаются направлением обхода.

Скалярное произведение, норма и расстояние между двумя ВК в определяются выражениями

Как видим, скалярное произведение, норма и расстояние в пространстве не затрагивают длины элементарных векторов. Если же рассматривать вопросы, связанные только с аргументами этих векторов, то скалярное произведение не инвариантно к повороту ВК. Действительно, повернем ВК Г на угол и найдем скалярное произведение:

Из выражения (4.3.12) следует, что скалярное произведение двух ВК, соответствующих одному и тому же контуру при его повороте на угол относительно исходного положения, является функцией угла Это значит, что ВК, соответствующие одному и тому же контуру, будут иметь различную норму, и расстояние не будет равно нулю.

В силу своей простоты код Фримена ДФ широко применяется целым рядом исследователей при решении задач распознавания на основе контуров изображений. Обзор большого количества работ, посвященных этому вопросу, приведен в [68]. Вместе с тем приведенный выше анализ общих свойств кода Фримена как сигнала в линейном пространстве показал, что так как он не отражает длины вектора, то на его основе нельзя с общих позиций теории сигналов получать оптимальные структуры устройств обработки и обоснованного принятия решения.

Для тех задач, где важно знать, из каких именно ЭВ слагается контур и какой вид имеет их конкатенация, код ДФ содержит всю необходимую информацию. Поэтому на его основе можно получить ряд статистических и лингвистических описаний изображения, например матрицу вероятностей смены ЭВ в контурах изображений определенного класса.

Обычно при анализе контуров изображений кодирование по Фримену сочетается с другими методами кодирования контуров. Например, в [104] код ДФ используется для анализа формы клеток крови, но при измерении площади клеток крови производится переход в пространство Аналогично в [21] при формировании цепной взаимно корреляционной, функции вместо значений элементов кода ДФ вводятся соответствующие им косинусы углов элементарных направлений.

При анализе контуров на основе кода Фримена может создаться впечатление, что он недостаточно эффективен в общем случае, когда аргумент ЭВ принимает произвольные значения. В то же время на квадратной сетчатке, где аргумент вектора принимает всего восемь различных значений и колебания модуля вектора составляют около 40%, влияние модуля ЭВ можно не учитывать. Можно отказаться от евклидовой метрики и ввести метрику Минковского [40], рассматривая в качестве одиночной окружности единичный квадрат, т. е. строго считать, что все элементарные векторы имеют

одинаковые единичные длины. Но даже в этом случае все преобразования элементарных векторов связаны лишь с их поворотом.

Пространства Сопоставим задание ВК в пространствах . Такое сопоставление применяется при рассмотрении геометрии унитарного пространства [22].

Пусть ортонормированный базис в разложение произвольного ВК по этому базису. Одновременно с базисом рассмотрим векторы Тогда произвольный ВК Г можно представить в виде

Теперь ВК можно рассматривать как элемент действительного координатного пространства Таким образом, мы получили два представления ВК в координатных пространствах

Два ВК Г и равны, если Сумма ВК Г и N есть ВК Р, определяемый как

ВК Р, являющийся результатом умножения ВК Г на произвольный коэффициент X (комплексный для и действительный для ), имеет вид

При умножении в пространстве контур растягивается в раз и поворачивается на угол а при умножении в пространстве только растягивается.

В качестве ортонормированного базиса в Е обычно выбирается канонический базис [10]. В пространстве выбор базиса, аналогично каноническому, неоднозначен. В качестве такого базиса может служить любой базис вида

где комплексное число с единичным модулем [32].

Скалярные произведения ВК в пространствах Е и С при ортонормированном базисе имеют вид [22]:

Сравнивая выражения (4.3.19) и (4.3.20), видим, что скалярное произведение в содержит в качестве своей действительной части скалярное произведение в Вследствие этого скалярное произведение в унитарном пространстве за счет своей мнимой части более информативно, чем скалярное произведение в пространстве . Отсюда, например, следует, что ВК, ортогональные в могут не быть ортогональными в Ортогональность сохраняется лишь при . В то же время норма ВК Г в обоих пространствах совпадает, т. е.

Выражения для расстояния в имеют вид:

Так как в унитарном пространстве , то т. е. оба пространства изометричны. Отметим следующий факт: