5.3. СВОЙСТВА КОНТУРНЫХ СОГЛАСОВАННЫХ ФИЛЬТРОВ

1. Контурная фильтрация при неизвестном угле поворота. Выходной сигнал КСФ в пространстве представляет собой комплексное число и может рассматриваться как двухкомпонентный вектор. Когда опознаваемое и эталонное изображения имеют одинаковую направленность, этот вектор задается действительным числом. Повернем опознаваемое изображение на угол т. е. от кода его контура перейдем к коду Умножив обе части выражения (5.2.6) на получим

где сигнал на выходе КСФ при повороте изображения. Из выражения (5.3.1) следует, что поворот опознаваемого изображения на угол приводит к повороту на такой же угол вектора выходного сигнала КСФ при неизменной величине его модуля. Если в качестве основного выходного эффекта КСФ принять сигнал с максимальным значением модуля, то поворот изображения на неизвестный произвольный угол не влияет на эту величину.

2. Контурная фильтрация при неизвестном сдвиге начальной точки контура. Поиск изображения в сцене производится обычно путем сканирования ОЗУ сцены по определенному правилу, например, перебором адресов ячеек слева направо и сверху вниз. При этом первая найденная точка нового изображения считается начальной точкой контура и с нее начинается прослеживание линии контура и формирование цепного кода. Произвольный поворот сцены приводит к сдвигу начальной точки и изменению кода контура. Учитывая свойство периодичности цепного кода , сдвиг начальной точки можно рассматривать как фазовый сдвиг сигнала от контура.

Так как периодичность цепного кода приводит к периодичности вектора на выходе КСФ, то

где s — величина сдвига; реакция КСФ при смещении начальной точки контура.

Таким образом, сдвиг начальной точки контура на s единиц приводит к аналогичному смещению взаимнокорреляционной функции, формируемой КСФ. При этом для контура, согласованного с фильтром, пиковое значение АКФ будет достигаться в точках

Последнее выражение определяет момент возникновения на выходе КСФ максимального по модулю сигнала при произвольном значении s, в том числе и при Следует отметить, что в частотной области такой простой зависимостью выходного сигнала от сдвига начальной точки обладает только базис Фурье [101]. В связи с этим использование более просто определенных по сравнению с преобразованием Фурье разложений линии контура (например, по системе функций Уолща) значительно усложняет задание контура сдвиге его начальной точки.

3. Контурная фильтрация при неизвестном масштабе изображения. Пусть масштаб опознаваемого изображения изменен таким образом, что длина его контура в X раз превышает длину контура эталонного изображения, т. е.

Тогда в соответствии с выражением (5.2.6) получим

где — выходной сигнал КСФ при изменении машстаба изображения.

При в момент будем иметь

4. Обобщенная инвариантность КСФ к линейным преобразованиям изображения и сдвигу начальной точки контура.

Пусть

При этом контур Р повернут относительно эталонного на угол растянут в X раз, а его начало сдвинуто на s элементов. Пусть

нормированный максимальный выходной эффект КСФ, достигаемый в момент то, Тогда с учетом выражений (5.3.1), (5.3.2) и (5.3.4) получим

т. е. КСФ, выходной эффект которого формируется в соответствии с выражением (5.3.6), инвариантен к преобразованиям переноса, поворота, масштабирования и сдвига начальной точки контура.

5. Оценка параметров линейных преобразований изображений и сдвига начальной точки контура по выходному сигналу КСФ. Инвариантность структуры КСФ к рассмотренным выше линейным преобразованиям опознаваемого изображения не является его единственным полезным качеством. Не менее интересной является возможность получить оценки параметров этих изображений.

В соответствии с выражением (5.3.1) при аргумент вектора выходного сигнала равен углу поворота опознаваемого изображения относительно эталонного:

Из выражения (5.3.8) получаем оценку величины изменения длины контура при масштабировании

а выражение (5.3.3) позволяет найти величину сдвига начальной точки контура

6. Влияние процедуры квантования линии контура в плоскости сетчатки на процесс КСФ. Рассмотренная выше работа КСФ при неизвестных значениях угла поворота, масштаба, сдвига начальной точки контура, а также инвариантность кода к переносу изображения, приводящая к инвариантности КСФ к этому виду преобразования, относится либо к случаю, когда ошибками квантования линии контура в плоскости сетчатки рецепторного поля можно пренебречь, либо когда подобным преобразованиям подвергается уже проквантованное изображение. Процедура квантования

является нелинейной операцией, и поэтому нарушается взаимно однозначное соответствие между кодами исходного и преобразованного изображений, которое наблюдается при аналитических линейных преобразованиях.

При переносе изображения в зависимости от отношения параметров переноса к размеру клетки сетчатки будут изменяться значения элементов кода , т. е. разностный код в этом случае теряет свойство инвариантности. Если через обозначить ВК ошибок квантования, являющихся функциями параметров переноса , то КСФ будет формировать величину

Для момента получим

Из-за случайного характера компонент ВК N скалярное произведение является комплексным числом, и аргумент выходного вектора уже не будет равен нулю. Соотношение

переходит в равенство лишь тогда, когда скалярное произведение будет действительным числом. Поэтому имеет не только не равный нулю аргумент, но и не равный единице модуль. Аналогичная ситуация получается при повороте и масштабировании опознаваемого изображения до ввода его в ОЗУ сцен. Таким образом, процесс квантования линии контура в полости рецепторного поля приводит к тому, что вектор на выходе КСФ становится случайным за счет наложения на детерминированный выходной эффект шумов квантования, дисперсия которых определяется размером ячейки рецепторного поля.

Эффект квантования линии контура приводит также к тому, что количество элементов в контуре одного и того же изображения в зависимости от его положения тоже становится случайной величиной. Так как для работы КСФ контур опознаваемого изображения должен иметь фиксированное количество элементов, то перед фильтрацией необходимо произвести эквализацию кода .

7. Формирование ИПХ КСФ. Импульсная переходная характеристика КСФ выполняет роль эталонного контура. Между ним и контуром опознаваемого изображения

КСФ формирует оценку меры близости (схожести). В ряде случаев ИПХ можно заранее задать исходя из известной формы распознаваемого изображения, например, при распознавании фигур многоугольников. Однако чаще всего ИПХ представляет собой контур сложной формы и определяется экспериментально. Пусть Тнепр. есть истинный контур опознаваемого изображения. После многократного ввода этого изображения в ОЗУ сцен получим в рецепторном поле совокупность контуров

где ВК ошибок квантования.

Суммируя контуры Г, и учитывая, что компоненты ВК представляют собой случайные числа с нулевым математическим ожиданием, будем иметь

При сумма ВК дает нулевой ВК и

Таким образом, при суммировании большого количества реализаций контуров одного изображения можно осуществить подавление ошибок квантования и получить ИПХ для КСФ с точностью до масштабного коэффициента v, совпадающую с истинным контуром изображения.

Следует отметить принципиальную роль тремора при вводе изображения для формирования эталонного контура Гетол. В результате тремора реализации шумового ВК оказываются независимыми случайными векторами и процесс схождения ускоряется.

8. Сравнительная трудоемкость контурной согласованной фильтрации. Осуществим ориентировочную оценку трудоемкости вычислений при контурной согласованной фильтрации. Базовая операция для КСФ представляет одномерную свертку комплексных дискретных функций

и для получения k отсчетов потребуется выполнить Мксф действительных операций (умножение+сложение), где — коэффициент, учитывающий трудоемкость программной реализации КСФ.

Для объекта, вписанного в квадрат со стороной М, будем полагать, что его контур содержит элементарных векторов. Тогда

При фильтрации такого объекта с помощью линейного пространственного фильтра (ЛПФ), у которого размер окна имеет форму квадрата со стороной М, потребуется операций. Пусть далее вследствие неинвариантности ЛПФ к повороту изображения необходимо через каждые 3,6° менять ИПХ ЛПФ. В этом случае для фильтрации изображения с неизвестным углом поворота потребуется выполнить действий.

Полагая коэффициенты и сцмф близкими друг к другу, получим следующее выражение для выигрыша в трудоемкости выполнения КСФ по сравнению с ЛПФ:

Реально величина М составляет 20—100 элементов, и выигрыш в трудоемкости при этом составит . Необходимо отметить, что действительный выигрыш для КСФ еще на один-два порядка выше, т. к. процедуру ЛПФ необходимо выполнять для изображения, положение которого заранее неизвестно. Поиск и выделение контуров изображения требует при этом значительно меньшего количества действий.

Реализация СИФ с помощью КСФ по сравнению с ЛПФ дает также выигрыш в объеме запоминающего устройства процессора обработки изображений.

Следует отметить, что выигрыш в вычислениях отмечается лишь до тех пор, пока степень близости опознаваемого изображения к эталонному устанавливается на основе сравнения их форм. В других случаях, например, когда необходимо учитывать интенсивность каждой точки изображения, хорошие результаты можно получить лишь с использованием ЛПФ.

По результатам проведенного анализа приходим к выводам, что процесс контурной согласованной фильтрации обладает следующими свойствами:

поворот изображения приводит к повороту выходного вектора КСФ на тот же угол;

сдвиг начальной точки контура вызывает такой же сдвиг выходного сигнала КСФ, имеющего максимальный модуль;

растяжение контура изображения при его масштабировании приводит к аналогичному изменению длины выходного вектора КСФ;

модель нормированного выходного контура КСФ инвариантен к переносу, повороту, масштабированию изображения и сдвигу начальной точки его контура;

сравнение параметров выходного вектора КСФ для преобразованного и эталонного изображения позволяет оценить параметры поворота и масштабирования изображения, а также сдвиг начальной точки его контура;

линейные преобразования изображений с последующим квантованием линии контура в плоскости рецепторного поля приводят к нарушению инвариантности КСФ к данным преобразованиям вследствие возникающих при этом эквивалентных шумов квантования.