2.6. РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Задача многоальтернативного обнаружения (различия стохастического сигнала непосредственно связана с задаче» распознавания объектов, отражающих или излучающих сиг нал. Известно, что указанные объекты придают сигналу в тон или ином фазовом пространстве (например, в пространств принимаемых сигналов или в пространстве параметров, определяющих траекторию или характер движения объекта) определенную «окраску», характерную для объекта данного тип или класса, что и позволяет связать эти две задачи. Принципы многоальтернативного обнаружения базируются на результатах теории двухальтернативного обнаружения стохастических сигналов.

В п. 2.2 был выполнен синтез системы двухальтернативного обнаружения стохастических сигналов в пространстве состояний, на основе которого может быть построена система многоальтернативного обнаружения.

Задача многоальтернативного обнаружения стохастических сигналов формулируется следующим образом.

Вектор наблюдения размером представленный в дискретном времени , может формироваться в соответствии с гипотезами

В (2.6.1) - -мерный вектор сигнала; -мерный вектор помехи; матрица размером нормально распределенные независимые случайные векторы, средние значения которых равны нулю. Ковариационные матрицы наблюдаемого процесса имеют вид:

где символ Кронекера. Матрицы представляют собой блочные квадратные симметричные матрицы с числом блоков в каждой и числом элементов в блоках Полагаем, что гипотеза соответствует отсутствию сигнала на входе системы:

Каждый из сигналов может быть представлен марковским векторным случайным процессом и является решением следующего линейного разностного уравнения:

где матрица размером ; -мерный вектор некоррелированного нормального шума; матрица размером

Требуется найти алгоритм обработки сигнала, наилучшим образом различающий гипотезы .

При решении данной задачи будем опираться на результаты синтеза рекуррентных алгоритмов обнаружения стохастических сигналов, полученных в п. 2.2.

При традиционных методах синтеза систем обнаружения сигнала на фоне шумов как правило, формируется

квадратичная форма, стоящая под знаком экспоненты в выражении для отношения правдоподобия; эта квадратичная форма

представляет собой достаточную статистику для задач двухальтернативного обнаружения. В выражении в свою очередь, матрица определяется из решения следующей системы линейных уравнений:

где I — единичная матрица размером Синтезированный в п. 2.2 рекуррентный алгоритм обнаружения записывается в виде (далее индекс при соответствующих функциях будем, как правило, опускать):

где матрица представляет собой блочный элемент «текущей» обратной матрицы получаемой при обращении матрицы на текущем интервале текущее время,

Таким образом, алгоритм (2.6.6) отличается от «традиционного» (2.6.4) характером обращения матрицы и тем, что он учитывает только левую нижнюю часть матрицы . В результате указанных особенностей статистики удалось синтезировать следующий точно компактный рекуррентный алгоритм обнаружения эквивалентный (2.6.6):

В (2.6.8) матрица определяете выражением

Полагаем, что существует; если не является квадратной матрицей, то следует рассматривать как квазиобратную;

Матрица связывает между собой матрицы полученные для смежных значений текущего времени, следующим образом:

Чтобы решать поставленную в данном параграфе задачу, необходимо перейти от статистики (2.6.6) к логарифму отношения правдоподобия, полученного с учетом характера обращения матрицы который для задач многоальтернативного обнаружения представляет собой достаточную статистику.

Модифицируем выражение (2.6.6) таким образом, чтобы дополнить нижнюю треугольную матрицу членами до симметричной с тем, чтобы придать полученному выражению вид, аналогичный квадратичной форме (2.6.4):

Алгоритм (2.6.8) применительно к принимает вид:

С учетом гауссова характера распределения наблюдаемых сигналов соотношение (2.6.12) эквивалентно следующему выражению для логарифма отношения правдоподобия

где ;

— условная плотность распределения вероятности вектора при известном векторе и заданной гипотезе . При условной плотности вероятности соответствует функция

Выражения для соответствующих плотностей вероятности имеют вид:

в обозначении подматриц в выражении для первый аргумент соответствует значению текущего времени, в пределах которого производятся обращения матрицы (2.6.7);

достаточно слабой временной корреляции процесса или при малых отношениях сигнал-помеха . При указанных условиях матрица может рассматриваться как матрица условных ковариаций вектора при заданном векторе и справедливости гипотезы .

Величина с учетом (2.6.14) и (2.6.15) определяется как

Величина (2.6.12) может быть выражена в виде

где

Матрицы входящие в (2.6.16). с учетом (2.6.10) выражаются через матрицы следующим образом:

В окончательном виде рекуррентная процедура вычисления логарифма отношения правдоподобия может быть представлена соотношениями (возвращаемся к написанию индекса ):

Рис. 2.10. Рекуррентный алгоритм многоальтернативного обнаружения: 1 - блок сравнения; 2 - решение (принимается при ; 3 - от других каналов

Структурная схема алгоритма (2.6.17) изображена i рис. 2.10. Решение о наличии или отсутствии сигнала можно приниматься посредством сравнения величины с заданным порогом. Блок на рис. 2.10 обозначает схеме задержки на один такт.

Для решения задачи различения сигналов строится алгоритмических каналов (2.6.17), вырабатывающих лог рифмы отношения правдоподобия для каждого из сигналов; при (h - порог обнаружения) и для всех принимается решение о ; если для всех о наличии только одного шума (гипотеза ).

Все параметры и матричные коэффициенты, входящие в (2.6.17), вычисляются заранее.

При реализации рассматриваемого алгоритма многоальтернативного обнаружения стохастических сигналов в каждом шаге наблюдения необходимо знать блочные менты матрицы являющейся обратной по отношении к левым верхним подматрицам с числом блоков матрицы индекс (х у матрицы опускаем. Матрица используется при расчете параметров полученного алгоритма. Для вычисления этой матрицы может быть предложена процедура, основанная на обращен» блочных матриц [55] и позволяющая по результатам обращения матрицы с числом блоков получить матрицу Приведем эту процедуру.

Представим матрицу в виде

где блочная матрица-столбец, состоящая из блоков.

Матрица, обратная по отношению к

где размер введенных подматриц соответствует размеру подматриц в (2.6.18). Воспользовавшись введенными обозначениями, приведем рекуррентный алгоритм вычисления матрицы следовательно, матрицы Если известна матрица начиная с имеем:

Синтезированные и рассмотренные в данной главе алгоритмы позволяют обнаруживать и распознавать (при многоальтернативном обнаружении) стохастические сигналы в различных фазовых пространствах.