3. Физическое происхождение шума

(а) Закон Найквиста

Простейший источник электрического шума — сопротивление. Согласно обобщенному закону Найквиста (см. [13]), сопротивление находящееся в тепловом равновесии при температуре ведет себя так, как будто последовательно с ним включен генератор флуктуационного напряжения, энергетический спектр которого имеет вид

где постоянная Больцмана, равная постоянная Планка, равная называется множителем Планка, он равен единице для и быстро приближается к нулю для обеспечивая тем самым срез спектра на высоких частотах, почти равномерного на других частотах.

Фиг. 2.1. Эквивалентные шумовые генераторы.

При обычной температуре этот срез оказывается в инфракрасной области: для параметр равен единице при гц. В диапазоне частот, рассматриваемом в этой книге, можно принять множитель Планка равным единице, так что ниже мы его будем опускать. На фиг. 2.1 показаны сопротивление и его эквивалентный генератор шумового напряжения.

Необходимо помнить, что при нашем определении энергетического спектра половина энергии соответствует

отрицательным частотам, а другая половина — положительным. Этим объясняется то, что выражение (2.27) отличается от обычной формулы Найквиста на коэффициент 2. Заметим, что размерность обеих частей формулы сек, если измеряется в омах, джоулях Таким образом, так называемый энергетический спектр не имеет обычной размерности мощности Эта терминология является условной, хотя, возможно, лучше было бы назвать величину просто спектральной плотностью.

Причиной появления флуктуационного напряжения на сопротивлении является тепловое движение ионов и электронов. Формула (2.27) для спектра флуктуации впервые была получена Найквистом, который вывел ее на основе термодинамики и статистической механики. Основы его доказательства и дополнительное обсуждение этой формулы приведены в работе [7]. Результаты экспериментально были проверены различными исследователями. Флуктуации этого типа обычно называют шумом Найквиста или иногда — шумом Джонсона. Эквивалентной формулировкой закона, часто используемой при анализе, является утверждение, что сопротивление ведет себя так, будто параллельно с ним включен генератор флуктуационного тока, спектр которого

(см. фиг. 2.1). Шуморое напряжение между двумя любыми точками сложной цепи, рассматриваемыми как выходные клеммы, является результатом действия шумов всех сопротивлений в цепи. Для расчета энергетического спектра этого напряжения последовательно с каждым сопротивлением включают генератор флуктуационного напряжения со спектром, определяемым формулой (2.27),

Шумовые напряжения отдельных генераторов статистически независимы. Напряжение между рассматриваемыми точками рассчитывается согласно обычной теории цепей. Если напряжение между выходными клеммами равно когда последовательно с сопротивлением включен источник

напряжения можно определить коэффициент передачи формулой

При этом в соответствии с (2.26) спектр шума на выходе будет

Однако проще вычислить шумовое напряжение на выходных клеммах цепи, заменяя схему ее эквивалентным импедансом измеренным между этими клеммами. При этом шумовые свойства цепи, проявляющиеся в любой присоединенной к ней внешней схеме, таковы, как если бы последовательно с эквивалентным импедансом был включен генератор, спектр выходного напряжения которого имеет вид

Эквивалентный импеданс легко вычислить методами теории цепей.

Если сопротивления цепи находятся при различных температурах, выражение (2.29) должно быть заменено формулой

где температура сопротивления. Этот обобщенный закон Найквиста был также проверен экспериментально (см. [13]). Представление об эквивалентном импедансе цепи [формула (2.30)] нельзя использовать для вычисления шумов, если вся цепь не находится при одинаковой температуре.

(б) Шум в простом резонансном контуре

Рассмотрим в качестве примера схему, изображенную на фиг. 2.2, Каков спектр шумового напряжения на конденсаторе? Эквивалентный импеданс между указанными клеммами

По формуле (2.30) для спектра напряжения найдем

Фиг. 2.2. Простой резонансный контур.

Другой способ получения этого результата состоит в том, что последовательно с сопротивлением включается генератор напряжения V, спектр которого Коэффициент передачи от V к имеет вид

где ток в контуре.

Теперь, используя (2.29), найдем спектр напряжения Е:

Таким образом, оба метода дают одинаковые результаты, но первый при анализе сложных цепей часто оказывается проще.

Среднеквадратичное значение напряжения на емкости контура фиг. 2.2 находится интегрированием спектра:

Средняя энергия, запасенная в емкости, равна Аналогично можно найти спектр тока интегрируя его, показать, что средняя энергия магнитного поля в индуктивности равна Эти результаты являются частными случаями теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Контур является колебательной системой с одной степенью свободы, представленной зарядом на емкости, добавляющейся к очень большому числу степеней свободы частиц, из которых состоит сопротивление. Потенциальная энергия, соответствующая этой дополнительной степени свободы, равна а кинетическая энергия Когда такая система находится в тепловом равновесии при температуре каждая степень свободы имеет среднюю энергию которая распределена поровну между кинетической и потенциальной энергией. Анализ флуктуаций в сложной цепи с этой точки зрения дан в работе [3].

Квантовомеханическое рассмотрение флуктуаций в линейной диссипативной системе проведено Колленом и Велтоном [8]. Такая система характеризуется большим числом близко расположенных энергетических уровней. Энергия по этим уровням при тепловом равновесии распределяется в соответствии с законом Больцмана. Обобщенный импеданс определяется для системы таким образом, что энергия, рассеивающаяся в нем при приложенной синусоидально меняющейся "силе" дается формулой Показано, что при тепловом равновесии система ведет себя так, как если бы она содержала генератор обобщенной флуктуационной силы со спектром

Применяя эту теорию к электрической цепи, получим формулу Найквиста (2.27) или более общую формулу (2.30). Но в такой же мере указанное рассмотрение может быть применено и к другим задачам. Спектр случайной силы, вызывающей броуновское движение частицы, взвешенной в вязкой жидкости, можно вычислить при помощи представления о потерях энергии, получающихся, когда частица принудительно колеблется под действием внешней силы. Закон излучения Планка можно получить при учете явления торможения колеблющегося заряда электромагнитным полем. Таким путем была показана тождественность природы различных тепловых флуктуаций.

(в) Передача шумовой мощности

Полезно проделать расчет флуктуационных токов и напряжений в простой цепи, изображенной на фиг. 2.3. Цепь состоит из двух импедансов соединенных последовательно. Каждый из них может быть в свою очередь сложной цепью из сопротивлений, индуктивностей и емкостей. Чтобы иметь дело со спектральными компонентами вблизи одной частоты введем гипотетический полосовой фильтр с полосой пропускания рад (сек. Этот - фильтр подавляет все составляющие, кроме лежащих между а также между которые проходят без изменения. Когда цепь находится в тепловом равновесии при температуре в ней имеется флуктуационный ток, который можно представить генерируемым двумя генераторами.

Фиг. 2.3. Цепь для анализа шума.

Один связан с импедансом и имеет среднеквадратичное значение напряжения

другой связан с и имеет среднеквадратичное значение напряжения

Ток в цепи, вызванный тепловыми флуктуациями в импедансе равен а вызванный флуктуациями в равен Эти токи статистически независимы.

Среднюю мощность, рассеиваемую в цепи, можно найти, взяв действительную часть произведения где -среднеквадратичное векторное напряжение на клеммах цепи, а -среднеквадратичный векторный ток (втекающий в одну клемму и вытекающий из другой). Таким образом,

мощность, рассеиваемая в импедансе обусловленная флуктуационным напряжением первого импеданса, равна

Здесь мощность, рассеиваемая в импедансе шумовым напряжением При тепловом равновесии она должна быть равна что вытекает из симметрии написанного выше выражения. Аналогично флуктуационная мощность в обусловленная напряжением определяется выражением

а мощность в обусловленная напряжением

Полная мощность в полосе частот, пропускаемая фильтром, равна

Если полосовой фильтр исключить, полную мощность флуктуации в цепи можно найти интегрированием этого выражения по интервалу

Мощность передаваемая от импеданса импедансу максимальна, когда . В этом случае говорят, что импедансы "согласованы". При этих условиях

Величину называют максимальной шумовой мощностью, которую может отдавать импеданс в интервале частот Это аналогично утверждению, что максимальная полезная мощность, которую можно полу.

чить от генератора, равна где среднеквадратичное генерируемое напряжение, внутренний импеданс генератора. Максимальная отдаваемая мощность реализуется, когда генератор и его нагрузка согласованы в указанном выше смысле. Представление о максимальной отдаваемой шумовой мощности полезно при изучении случайных флуктуаций в линейных устройствах, таких, как антенны или линии передачи, которые можно представить в виде импедансов, хотя они и не состоят из сопротивлений и других элементов цепей с сосредоточенными постоянными.

(г) Другие источники шума

Антенна радиолокатора имеет на своих выходных клеммах флуктуационное шумовое напряжение. Чтобы понять, почему так получается, представим, что антенна и окружающие ее предметы помещены в большую изолированную коробку и все находится в тепловом равновесии. Пусть к антенне присоединен импеданс согласованный с импедансом излучения антенны. [Действительная часть сопротивление излучения, учитывающее потери мощности на излучение, когда антенна возбуждена переменным напряжением частоты Так как импеданс согласован с антенной, он отдает антенне мощность в полосе частот шириной При тепловом равновесии антенна должна отдавать такую же мощность, так что полная отдаваемая мощность на клеммах антенны будет равна Таким образом, антенну можно рассматривать как генератор флуктуационного напряжения со спектром внутренний импеданс генератора равен эквивалентному импедансу антенны.

На опыте было обнаружено, что спектр шумового напряжения на клеммах антенны является функцией ориентации антенны. Определенные участки неба действуют как источники значительного, так называемого космического, шума. Инженер учитывает это обстоятельство, вводя эффективную температуру пространства, окружающего антенну, так что спектр принимаемого напряжения равен Вообще говоря, эта эффективная температура является функцией частоты. Об исследовании эффективной шумовой

температуры было сообщено Лаусоном и Уленбеком [7]. Шум антенны обусловлен тепловым движением в предметах, окружающих антенну, на которые она направлена. Хаотические колебания ионов и электронов создают случайные флуктуации электромагнитного поля, которое в свою очередь возбуждает антенну. Некоторые астрономические тела имеют высокую эффективную температуру из-за ионизации и турбулентных процессов, происходящих в веществе, из которого они состоят. Космический шум открывает новый путь для изучения физических явлений в звездах и туманностях.

Электронные лампы, транзисторы и диоды в радиолокационном приемнике сами являются источниками шума вследствие физических процессов случайной природы, таких, как электронная эмиссия, на которых основано их действие. Например, закон Шоттки гласит, что спектр флуктуации тока в вакуумном диоде равен

где заряд электрона ( кулон). Эта формула описывает спектр вплоть до частот, определяемых временем пролета электронов и межэлектродными емкостями. На еще больших частотах спектр падает до нуля. В более сложных лампах, таких, как триоды и пентоды, проявляются другие явления, которые увеличивают шум на выходе. Шум "перераспределения" обусловлен случайным выбором сеток летящими на них электронами. Другой шум вызван хаотичной вторичной эмиссией электронов с электродов лампы. В радиолокационных приемниках основными источниками шума являются сопротивление на входе первого каскада усиления и кристаллический смеситель. Для подробного изучения шума в приемниках, методов измерения его и проектирования малошумящих цепей следует обратиться к книгам Лаусона и Уленбека [7] и Ван-дер-Зила [13].