4. Гауссово распределение

Шумовое напряжение, измеренное на сопротивлении, или шум на выходе электронной лампы, представляет собой сумму очень большого числа малых случайных эффектов

В электронной лампе любой измеряемый ток I создается большим числом пролетающих в 1 сек электронов, каждый из которых имеет маленький заряд Флуктуации этого тока обусловлены частично случайностями моментов вылета электронов из катода, а частично случайными скоростями электронов. Таким образом, флуктуации представляют сумму многочисленных малых отклонений от однородности. Подобно этому шум в сопротивлении вызывается малыми беспорядочными движениями частиц.

Относящийся к таким явлениям результат теории вероятностей, известный как центральная предельная теорема, утверждает, что при очень общих допущениях распределение суммы независимых случайных переменных в пределе, при подчиняется нормальному (гауссову) закону [4]. Функция плотности распределения вероятностей х, согласно этому закону, имеет вид

где среднее значение случайной переменной ее дисперсия. В соответствии с этой теоремой можно предполагать, что распределение шумовых флуктуации, о которых упоминалось выше, будет гауссово. Рассмотрения статистической механики, основанные на применении принципа энтропии к системам с большим числом степеней свободы, также во млогих случаях приводят к гауссову распределению. Такое описание флуктуаций широко подтверждено экспериментально. Краткий обзор некоторых свойств гауссова распределения дан в приложении

Важной чертой совместного гауссова распределения набора переменных является то, что оно зависит только от их средних значений и взаимных ковариаций. Для временных последовательностей часто удается измерить лишь среднее значение и функцию автоковариации так что математически удобнее описывать как случайный гауссов процесс. Если предположить, что среднее значение является функцией времени, но считать, что в остальном временная последовательность стационарна, можно определить матрицу автоковариации для переменных

формулой

Функция плотности совместного распределения вероятностей порядка стохастического процесса дается при этом формулой

где Величины являются элементами матрицы обратной матрице автоковариации: Они находятся при решении линейных уравнений

Иначе говоря, где - адъюнкт элемента в детерминанте матрицы автоковариации. Нормирующий множитель в формуле для плотности вероятности (2.34) равен

В частности, функция плотности распределения вероятностей первого порядка дается формулой (2.32), функция второго порядка — формулой

Совместное распределение вероятностей независимых гауссовых случайных переменных дается формулой

В предыдущем разделе рассмотрен такой вид шума, спектр которого можно считать почти постоянным вплоть до некоторой высокой частоты среза вблизи которой спектр падает до нуля. Такой спектр приближенно описывается равенствами

где - плотность мощности шума сек в случае флуктуаций напряжения на сопротивлении ом). Функция автоковариации, соответствующая спектру (2.39), получается при помощи преобразования Фурье:

Эта функция имеет пик при осциллируя, уменьшается по величине примерно как Случайные переменные строго некоррелированы, если моменты времени разделены промежутками, кратными Для любых интервалов между которые велики по сравнению с переменные приближенно некоррелированы. В пределе, при т. е. когда частота среза много больше частот, имеющих значение в рассматриваемой системе, удобно для функции автоковариации взять

где -функция Дирака. Шум такого вида часто называют "белым" шумом.

В курсах теории вероятностей доказывается, что любая линейная комбинация случайных переменных с гауссовым

распределением имеет также гауссово распределение. Это справедливо, даже если переменные не независимы. Так как интеграл можно рассматривать как предел суммы, функция распределения плотности вероятностей любого интеграла, в который гауссова случайная функция входит линейно, есть также гауссова. Если мы обратимся к соотношению (1.7), определяющему напряжение на выходе линейного фильтра по входному напряжению и импульсной характеристике, то увидим, что сделанное выше утверждение означает, что, если на входе линейного фильтра имеется гауссов стохастический процесс, на его выходе также будет получаться гауссов процесс. Среднее значение на выходе можно найти, подставив среднее значение на входе в формулу (1 7). Автоковариация выходного процесса есть преобразование Фурье выражения где коэффициент передачи фильтра, а спектр мощности процесса на входе. Эти две функции, среднее и автоковариация, достаточны для определения совместного распределения на выходе фильтра в соответствии с формулой (2.34). В частности, если на вход фильтра подан белый гауссов шум с плотностью мощности спектр на выходе будет если пренебречь шумом, создаваемым самим фильтром.