Глава 6. ОБНАРУЖЕНИЕ ПРИ МНОГОКРАТНЫХ НАБЛЮДЕНИЯХ

1. Система обнаружения

В последней главе предполагалось, что для обнаружения радиолокационной цели мог быть использован только один эхо-сигнал. Сигнал на входе системы наблюдался только в интервале в котором эхо-сигнал или присутствовал, или нет. В практике радиолокации, однако, по направлению к цели может излучаться много импульсов и есть возможность производить наблюдение на некотором числе интервалов, в каждом из которых может ожидаться эхо от цели. Пусть число таких интервалов наблюдения, и пусть сигнал, появляющийся в течение интервала, будет Все сигналы искажены случайным шумом некоторого известного статистически характера; будем предполагать, что шум узкополосный и гауссов с комплексной автоковариацией На основании серии входных сигналов измеренных на интервалах наблюдения, должно быть принято решение, присутствует серия сигналов или нет. Какая стратегия будет оптимальной? Выбор должен быть сделан опять между двумя гипотезами: входное напряжение состоит из одного шума, оно содержит шум плюс серию сигналов, Последняя гипотеза может быть сложной, так как сигналы могут зависеть от определенных неизвестных параметров, таких, как амплитуды и фазы. Предполагается, что входных напряжений наблюдаются в течение достаточно отдаленных интервалов, так что шумовые напряжения в каждом интервале являются статистически независимыми. Число сигналов, доступных для наблюдения, зависит на практике от скорости сканирования антенны и частоты повторения излучаемых импульсов.

Эхо-импульсы являются узкополосными, как в гл. а именно

где для удобства время измеряется от начала каждого интервала наблюдения. Считается, что фазы изменяются случайным образом от одного сигнала к другому или вследствие блуждающего движения цели, при котором расстояние до нее изменяется на величину порядка длины волны и больше, или же из-за некогерентности излученных импульсов. Если цель движется с известной постоянной скоростью и были приняты меры, чтобы управлять фазой последовательно излучаемых импульсов, эхо-сигналы от цели были бы когерентны, а фазы не были бы независимыми. Но тогда можно было бы рассматривать полный сигнал как одиночный и применять методы гл. 5; интервал наблюдения был бы просто подразделен на ряд несвязанных частей.

Здесь будет предполагаться, что фаз являются статистически независимыми случайными переменными с равномерным распределением на интервале как и в (5.22). Это, очевидно, наименее благоприятное распределение этих фаз, так как любые более детальные знания об их значениях могли бы быть использованы для улучшения обнаружения сигналов. Сейчас мы будем предполагать, что все амплитуды сигналов известны, хотя они могут быть и не равны.

По измеренному системой в течение интервала входному напряжению наблюдатель вычисляет серию -коэффициентов разложения точно так же, как в разд. 2 гл. 5. Используя серий значений этих коэффициентов, он образует средний коэффициент правдоподобия беря отношение их совместных функций плотности вероятности при двух гипотезах. Так как шумовые напряжения в любом интервале статистически независимы от шумовых напряжений в других интервалах, их функция совместного распределения является произведением функций распределения коэффициентов для каждого одиночного интервала. Так была получена формула (5.29). Следовательно.

коэффициент правдоподобия является произведением коэффициентов правдоподобия для отдельных интервалов. При усреднении по равномерно распределенным статистически независимым фазам сигналов после устремления к пределу в предположении, что число коэффициентов стремится к бесконечности для каждого интервала, средний коэффициент правдоподобия в этой задаче получается в виде

где

комплексная огибающая входного напряжения интервале наблюдения. Функция является решением интегрального уравнения

где -комплексная функция автоковариации шума. Величина равна

В случае белого шума со спектральной плотностью величина

и

Средний коэффициент правдоподобия должен быть сопоставлен с некоторым критическим значением если

решают, что сигнала нет. Эта процедура эквивалентна вычислению логарифма коэффициента правдоподобия к

и сравнению его с фиксированным критическим значением Обращаясь к рассуждениям разд. 2 гл. 5, видим, что оптимальная система обнаружения состоит из фильтра, согласованного с решением уравнения (6.4), за которым следует детектор. Комплексная огибающая выходного напряжения фильтра в конце интервала наблюдения имеет абсолютное значение, равное величине даваемой формулой (6.3). Это выходное напряжение умножается на коэффициент и прикладывается к детектору, на выходе которого напряжение равно при входном напряжении с комплексной огибающей (Если все амплитуды равны, множитель постоянен.) Напряжение на выходе этого детектора в конце интервала измеряется и добавляется к сумме выходных напряжений предыдущих интервалов. Когда последний интервал окончился, сумма сравнивается с величиной

Если сумма больше, принимается решение, что сигнал присутствует.

На фиг. 6.1 показана характеристика детектора Заметим, что для малых значений х

а для больших х

Следовательно, для малых значений оптимальный детектор близок к квадратичному, а для больших — к линейному. Этот тип детектора был предложен Маркумом [4], его применение рассматривалось Вудвордом и Дэвисом [6] и Мидлтоном [8].

Рассмотренная система обнаружения сильно зависит от значений амплитуд сигналов Если даже они все равны, необходимо знать их общую величину. Значение критического уровня будет зависеть, таким образом, не только от вероятности ложной тревоги и мощности шума, но и от ожидаемых амплитуд сигналов

Фиг. 6.1. Характеристика оптимального детектора.

Такая система не может обеспечить испытания гипотезы против гипотезы которое было бы равномерно наиболее мощным по отношению к амплитудам сигналов.

Если функция совместного распределения вероятностей амплитуд сигнала равна средний коэффициент правдоподобия по формуле (5.4) принимает вид

Если амплитуды неизвестны, можно спроектировать систему для вычисления этого среднего коэффициента правдоподобия, используя некоторый подходящий ансамбль сигналов, описываемый их совместным распределением Наименее благоприятная ситуация в отношении амплитуд, казалось бы, будет, когда они статистически независимы: При этом условии формула (6.9) принимает вид

Обнаружение наиболее трудно, когда амплитуды очень малы. Разлагая показательную и бесселеву функции в ряды, можно записать выражение (6.10) в виде

где средний квадрат ожидаемой амплитуды сигнала. Оказывается, что подходящей системой будет такая, которая формирует сумму выходных напряжений квадратичного детектора в конце каждого интервала наблюдения

где комплексная огибающая входного напряжения в интервале наблюдения длины В последующих разделах мы рассмотрим вероятности ложной тревоги и обнаружения для такой системы.

Наименее благоприятного совместного распределения амплитуд сигналов в смысле разд. 1 гл. 5 в этой задаче не существует точно так же, как оно не существует и для рассмотренного там случая одиночного наблюдения Опять по мере уменьшения амплитуд обнаружение усложняется и оптимальной системой является такая, которая

пригодна для сигналов с исчезающе малыми амплитудами. Это система, в которой суммируются напряжения на выходе квадратичного детектора. Сумма сравнивается с некоторым уровнем который выбран так, что вероятность ложной тревоги равна заранее заданному значению. Система не зависит от ожидаемых амплитуд сигналов и наблюдатель уверен, что для всех амплитуд ббльших некоторого минимального значения вероятность обнаружения не меньше значения (которое будет найдено в следующем разделе) независимо от истинного распределения амплитуд сигналов.