4. Обнаруживаемое сигнала при многократных наблюдениях

При помощи формул, полученных в двух предыдущих разделах, можно вычислить вероятность обнаружения сигнала имеющего данную систему амплитуд в случае, когда обнаружение выполняется системой, описанной в разд. 1. Эта система осуществляет формирование суммы значений выходных напряжений квадратичного детектора (следующего за надлежащим образом согласованным фильтром), получающихся в конце интервалов наблюдения. Эта сумма сравнивается с уровнем Если наблюдатель решает, что присутствует одна из возможных серий сигналов. Критический уровень есть функция вероятности ложной тревоги.

На фиг. 6.2 изображена величина как функция вероятности ложной тревоги где постоянная, данная в (6.5). График показывает, что при фиксированном критический уровень растет, если увеличивать число наблюдений обусловливая сдвиг функции распределения в сторону больших значений суммы На фиг. 6.3 изображена вероятность обнаружения для как функция полного отношения сигнал/шум определяемого (6.23). Кривые даны для нескольких значений . (В случае белого шума где полная энергия, принимаемая от цели в течение всех интервалов наблюдения, спектральная плотность мощности шума.)

Из этих графиков видно, что полная энергия, требующаяся для достижения заданной вероятности обнаружения, возрастает с числом наблюдений Это означает, что сигнал труднее обнаружить, когда полная энергия распределена между некогерентными импульсами, чем в случае, когда энергия сконцентрирована в одиночном эхо-импульсе . С другой стороны, для данной средней энергии в импульсе вероятность обнаружения возрастает с ростом числа

Фиг. 6.2. Критические уровни при многократных наблюдениях.

Чтобы придать этим замечаниям количественное выражение, предположим, что число так велико, что для вычисления вероятностей ложной тревоги и обнаружения достаточно только первых двух членов формулы (6.44). Первую вероятность можно найти, положив Такая апроксимация хорошо оправдывается для когда обе функции распределения, почти гауссовы. При этом имеем

Из написанных соотношений можно найти интенсивность сигнала требующуюся для достижения заданной вероятности обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги

где значения, полученные при решении уравнений (6.45) при заданных вероятностях. Например, для .

Фиг. 6.3. Вероятность обнаружения при многократных наблюдениях. Вероятность ложной тревоги

Из формулы (6.46), видно, что, требуемая полная энергия приблизительно пропорциональна Ум для больших значений числа при заданных значениях и средняя энергия в импульсе Таким образом, энергия минимально различимого сигнала, определенная в гл. 4, обратно пропорциональна корню квадратному из числа сделанных наблюдений Чтобы уменьшить эту энергию до ее значения при необходимо сделать около 100 наблюдений.

Наше рассуждение в разд. 1 гл. 5 о наименее благоприятном распределении указывает на то, что, если используется система, предложенная в разд. 1, и если амплитуда сигналов больше некоторого минимального значения вероятность обнаружения не может быть меньше значения, вычисленного выше для (при данной вероятности ложной тревоги). При этом не имеет значения, какова истинная функция распределения амплитуд Однако, если наблюдатель знает, что все амплитуды больше некоторого минимального значения и если это минимальное значение достаточно велико, он имеет возможность увеличить среднюю вероятность обнаружения, применив линейный детектор вместо квадратичного, учитывая поведение оптимальной характеристики детектора (см. фиг. 6.1).

Рассмотрим вопрос об оптимальной характеристике детектора более детально. В разд. 1 было установлено, что для очень малых амплитуд сигнала функция в выражении для логарифма коэффициента правдоподобия (6.6) может быть заменена первым, квадратичным членом в ее степенном разложении (6.7). Как мы теперь, однако, покажем для малых значений числа и разумных значений вероятностей среднее значение так велико, что для большинства наблюдений выходит из квадратичной части кривой фиг. 6.1, даже когда сигнала нет.

Из (6.25) при можно получить выражение для функции распределения при гипотезе С его помощью легко показать, что функция распределения в отсутствие сигнала равна

[ср. формулу (5.46)]. Среднее значение равно

Следовательно, в отсутствие сигнала среднее значение аргумента функции в (6.6), согласно формуле (6.23), равно когда все импульсы имеют равные амплитуды. Теперь, чтобы найти сигнал, дающий, скажем, вероятность обнаружения при вероятности ложной тревоги значения можно определить из графиков фиг. 6.2. Получаются следующие средние значения аргумента

Обращаясь к фиг. 6.1, видим, что все точки, кроме последней, находятся на почти линейной, части кривой Когда сигнал присутствует, среднее значение даже еще больше. Так как значения случайных переменных имеют тенденцию группироваться около их средних значений большинство из них лежит на линейной части кривой фиг. 6.1 для значений близких к 100 или 200.

Казалось бы поэтому, что для разумных значений вероятностей ложной тревоги и обнаружения и для малых функция в выражении логарифма коэффициента правдоподобия (6.6) не может быть точно апроксимирована первым членом степенного разложения (6.7). Лучше было бы для значений ббльших 100 или близких к этому, использовать линейную апроксимацию (6.8), получающуюся в системе обнаружения с линейными детекторами. Только когда число наблюдений еще много больше, амплитуда минимально различимого сигнала достаточно мала, чтобы была справедлива квадратичная апроксимация.

Маркум [4] дал формулы для вычисления вероятностей обнаружения и ложной тревоги как для систем с линейными детекторами, так и для систем, в которых применяются квадратичные детекторы. Он вычислил как функцию числа

силу сигнала, необходимую для получения вероятности обнаружения при вероятности ложной тревоги порядка для систем, использующих любой из этих двух типов детекторов. Его результаты показали, что линейный детектор немного лучше квадратичного для а последний лучше для Однако различие величин сигналов никогда не превышает 0,19 дб и можно заключить, что эффективность квадратичного и линейного детекторов для всех значений одна и та же. Интересно отметить, что результаты Маркума, однако, подтверждают сделанное выше замечание относительно того, что при малом числе наблюдений линейный детектор ближе к оптимальному.

До сих пор предполагалось, что время прихода сигнала известно, так что наблюдатель знает, в какое время измерять напряжение на выходе детектора. Если положение возможной цели неизвестно, схемы обнаружения, подобные предложенным выше, не могут быть использованы. Мы обсудим возникающую в этом случае ситуаций после рассмотрения методов измерения времени прихода эха от цели, о присутствии которой известно. Эта задача рассматривается средствами статистической теории оценок параметров, которая является темой следующих глав.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)