2. Дисперсия оценки времени прихода сигнала

Оценка расстояния до радиолокационной цели пропорциональна оценке времени х прихода эхо-сигнала, которое в свою очередь дается моментом времени, когда огибающая на выходе квадратичного детектора, следующего за согласованным фильтром (8.15), достигает своего максимума. Обычно выходное напряжение или функция

определенная (8.11), имеет много пиков. Большинство из них обусловлено шумом. Если рассматриваемый сигнал был надежно обнаружен, имеется, однако, только один наибольший пик, обусловленный сигналом. Должно быть измерено именно положение высшей точки пика. В дальнейшем будет предполагаться, что отношение сигнал/шум достаточно велико, так что смещение максимума амплитуды во времени на выходе детектора, вызванное шумом, мало по сравнению с длительностью сигнала. При вычислении дисперсии момента, соответствующего максимуму, будет предполагаться, что мы можем пренебречь всеми членами, кроме линейных, относительно шумового напряжения. Наш результат, таким образом, будет справедлив только асимптотически. Он позволяет, однако, указать факторы, от которых больше всего зависит дисперсия ошибки в ситуации, представляющей наибольший интерес.

Входное напряжение приемника имеет комплексную огибающую

где истинное значение времени прихода сигнала; комплексная огибающая шума; ее компоненты являются гауссовыми стохастическими процессами с ковариациями, даваемыми формулой (2.54). Мы ищем значение времени х, для которого функция даваемая формулой (8.11), достигает своего максимального значения. Эта функция равна

где, согласно (8.19),

Последний член в формуле (8.20) квадратичен относительно шума. Мы пренебрежем им в соответствии с предположением, что отношение сигнал/шум велико. Если бы шума не было, функция достигала бы своего максимума при Шум вызывает смещение этого максимума. Чтобы вычислить его новое положение, продифференцируем выражение (8.20) по х и приравняем производную нулю:

Так как отношение сигнал/шум велико, решение х этого уравнения близко к истинному времени прихода и целесообразно разложить левую часть уравнения по степеням сохраняя опять только члены первого порядка. Так как для то получаем

где штрихи означают дифференцирование по Ошибка в оценке равна, следовательно,

при учете членов с шумом в первой степени. В этой апроксимации оценка времени х имеет гауссово распределение со средним значением и дисперсией, которую мы сейчас вычислим.

В формуле (8.22) только числитель является случайной переменной. Он может быть записан в виде

(Ниже в этом разделе у всех интегралов пределы, которые не отмечены, подразумеваются бесконечными.) Мы ищем

среднеквадратичное значение действительной части С. Используя формулу (2.53), получаем

так что При этом с помощью (2.52) находим

Удобно выразить этот результат при помощи преобразования Фурье

и

[ср. формулу (2.44)]. Используя методику, описанную в приложении А, легко показать, что среднеквадратичное значение числителя (8.22) равно

Если теперь применить преобразования Фурье как в (8.13), можно показать, что в (8.23) преобразуется к

Подставив это выражение в (8.25), найдем, используя (8.14),

Теперь определим момент частоты сигнала при помощи соотношения

Когда шум белый, так что пропорциональна это определение совпадает с данным в разд. 5 гл. 1 для средней и среднеквадратичной частот. При использовании приведенного выше определения для формула (8.27) упрощается и дает

Знаменатель формулы (8.22) для ошибки времени прихода может быть выражен подобным же образом. Используя (8.13), запишем функцию даваемую формулой (8.21), в виде

Дифференцируя это выражение дважды по х, полагая ииспользуя определение (8.28), получим

Дисперсия времени х, даваемого (8.22), теперь может быть найдена из (8.29) и (8.30):

Здесь мы использовали отношения (8.13) и (8.14). Величина является опять отношением сигнал/шум. В случае белого шума, так как в соответствии с (2.56) где

есть полная энергия сигнала, спектральная плотность мощности шума. При этом величина в (8.31) есть обычная полоса частот сигнала, как она определена в разд. 5 гл. 1. Формула (8.31) соответствует результату Вудворда и Девиса [2] (см. также [3]).

Формула (8.31) справедлива только тогда, когда отношение сигнал/шум много больше единицы, так что дисперсия ошибки и неопределенность в измерении момента максимума на выходе детектора мала по сравнению с шириной пика, представляющего сигнал. Если отношение сигнал/шум порядка единицы или меньше, решить, который из пиков обусловлен сигналом и которые вызваны одним шумом, будет трудно. Ошибка в оценке времени прихода сигнала х будет при этом значительно больше величины, даваемой формулой (8.31).

Корень квадратный из дисперсии (8.31) в сущности представляет ширину пика функции плотности вероятности совместного распределения, рассматриваемой как функция х, хотя этот пик и подчеркивается экспоненциальной функцией, как указывалось Вудвордом [3]. Когда отношение сигнал/шум велико по сравнению с единицей, этот пик будет много уже, чем любая априорная функция распределения для неизвестного времени прихода х эхо-сигнала. Такая априорная

функция распределения, даже если она известна, не позволит поэтому намного улучшить оценку времени х по сравнению с найденной здесь максимально правдоподобной оценкой.

В пределе, при большом отношении сигнал/шум, максимально правдоподобная оценка времени прихода х асимптотически эффективна.

Распространение результата, выраженного формулой (7.19), на оценку более чем одного неизвестного параметра [1] приводит к выводу, что дисперсия эффективной оценки параметра дается -элементом обращенной матрицы элементы которой равны

где решение интегрального уравнения

а — комплексная огибающая узкополосного сигнала с параметрами . Если положить и взят пределы интегрирования вместо то найдем, матрица равна

Элемент (22) обращенной матрицы дает то же значение для дисперсии, что и (8.31) для оценки времени х. Этот результат указывает на то, что при больших отношениях сигнал/шум было бы трудно улучшить максимально правдоподобнун оценку этого параметра.