2. Спектр мощности

При вычислении отклика линейной системы на данный сигнал на входе часто бывает удобно рассматривать входной сигнал как сумму синусоидальных колебаний вида

Для периодического сигнала используются ряды Фурье. Частоты составляющих равны где целое число, а —период. В гл. 1 показано, что импульсные сигналы аналогичным образом могут быть представлены интегралом Фурье. Теперь при помощи метода Райса [2] проделаем то же для последовательности флуктуирующих величин которую выше мы назвали временнбй последовательностью. Ясно, что такое представление справедливо только для некоторого среднего значения.

Рассмотрим длинный отрезок временной последовательности, например от до и представим, что он периодически повторяется. Можно провести анализ Фурье такого образца записав его в виде

где коэффициенты равны

Взяв другой член ансамбля и вычислив соответствующие коэффициенты Фурье, получим некоторую другую систему значений так как это случайные переменные, значения которых зависят от выбранной реализации. Статистическое распределение этих переменных можно получить из системы функций распределения для стохастического процесса . В частности, можно вычислить их средние значения и дисперсии.

Так как среднее значение суммы случайных переменных равно сумме средних отдельных переменных, среднее значение интеграла, подобного любому из формул (2.12), равно интегралу от среднего значения подынтегрального выражения, если этот интеграл существует. Для стационарной временной последовательности

Найдем дисперсии этих случайных величин. Дисперсия коэффициента равна

Во втором преобразовании, сделанном выше, использована симметрия подынтегрального выражения по отношению к при этом можно интегрировать только по половине площади . В последнем преобразовании мы сделали замену переменных, вводя Выполняя одно

интегрирование и используя условие получим

Вообще функция автоковариации уменьшается достаточно быстро при так что интеграл в (2.14) существует, когда верхний предел заменяется на бесконечность. Поэтому если возрастает безгранично и в то же самое время возрастает и так, что остается постоянной,

при Аналогично можно показать, что при безграничном возрастании

апат при всех Ошибки в этих приближениях порядка Поэтому в пределе, когда длина анализируемого образца очень велика по сравнению с временем корреляции стохастического процесса и с периодом соответствующим рассматриваемой частоте коэффициенты составляют систему некоррелированных случайных переменных.

Если величину в (2.11) рассматривать как напряжение на сопротивлении 1 ом, мощность, рассеиваемая на этом сопротивлении спектральной составляющей частоты равна а среднее значение этой мощности по всем членам ансамбля при большом составляет

где - расстояние между частотами а

Функция называется энергетическим спектром стохастического процесса. Применяя обратное преобразование Фурье, получим

В частности, дисперсия

Если формулы (2.17) и (2.20) выражают полную среднюю рассеиваемую мощность как сумму средних мощностей спектральных составляющих. Чтобы в преобразованиях Фурье (2.18) и (2.19) избавиться от множителя 2, половина мощности данного интервала частот приписывается положительным частотам, половина — отрицательным. (Некоторые авторы приписывают всю мощность положительным частотам, так что их формулы отличаются от приведенных здесь на множитель 2.) Средний квадрат амплитуды компонент в пределе, при большом равен

Соотношения (2.18) и (2.21) представляют одну из форм теоремы Винера — Хинчина, связывающей распределение мощности по спектральным составляющим стохастического процесса с функцией автоковариации этого процесса. Более строгий вывод и доказательство этой теоремы приведены в работе [12].

Несколько слов о математической строгости приведенных здесь выводов. Так как о продолжительности временной последовательности ничего не было сказано, нельзя быть уверенным, что интегралы в уравнении (2.12) существуют и применимо обычное определение интеграла Римана. Под вопросом также справедливость предельных переходов и изменения порядка интегрирования, которые были сделаны. Так как разрывность и бесконечность в строгом смысле никогда физически не наблюдаются, по-видимому, полученные результаты справедливы для физических случайных процессов, которые и представляют здесь интерес. Однако для

согласованной логической математической теории эти обстоятельства должны быть учтены, что и сделано при рассмотрении стохастических процессов в работах [5, 11, 12]. Строгий анализ позволяет определить точные условия, при которых справедливы результаты этого и других разделов. Мы же для оправдания использованных математических методов полагаемся на физическую интуицию.

Другим у лобным способом записи рядов Фурье (2.11) является следующий:

Из формулы (2.21) получим в пределе, при большом Т:

Из (2.12) найдем

Таким образом, другим выражением для энергетического спектра является

Черта в последнем равенстве указывает на среднее по ансамблю, т. е. на среднее по большому числу независимых реализаций длиной Можно было бы предполагать, что из-за эргодических свойств временных последовательностей соотношение (2.25) будет выполняться независимо от усреднения, но это неправильно. В самом деле, можно показать, что для большого случайная переменная

имеет среднее значение близкое к но можно также показать, что ее дисперсия в пределе, при равна Функция распределения плотности вероятностей этой переменной при возрастании не стягивается к среднему значению, так что при таком анализе одиночной реализации стохастического процесса нельзя получить точную оценку энергетического спектра

Энергетический спектр часто используется при эмпирическом изучении временных последовательностей, например таких, какие имеют место в экономике (цены, доход и т. д.) или океанографии (высоты волн в океане). Понятно, что знание важнейших частот, получающихся в таких случайных процессах, полезно для нахождения причинных объяснений наблюдаемых явлений. Наши замечания, сделанные выше, показывают, что точное определение энергетического спектра по одиночной реализации трудно осуществимо.

Проблемы, встречающиеся при эмпирическом определении энергетического спектра, подробно рассмотрены в работах [9, 14, 15, 17, 18], Мы не будем здесь обсуждать эти вопросы; отметим только, что найти несмещенную оценку спектра на определенной частоте надежды нет. Вместо этого мы должны находить среднее в некотором интервале частот вблизи со. Оценка в большинстве случаев получается в виде

В дискретной аналогии она имеет тот же вид с заменой интегрирования суммированием значений измеренных в дискретных точках. Здесь весовая функция с пиком при и шириной порядка Можно показать, что при большом

а дисперсия имеет порядок Эту оценку называют состоятельной, потому что с увеличением

значения, близкие к среднему, становятся все более вероятными.

Если случайное напряжение или ток, его спектр можно измерить при помощи анализатора спектра. Этот прибор содержит фильтр, ослабляющий все частоты, за исключением очень узкой полосы шириной около частоты прозрачности (настройки) . Выходной сигнал с этого фильтра выпрямляется и направляется в измерительный прибор, который показывает среднюю мощность, прошедшую через фильтр. Усреднение происходит из-за демпфирования и инерции в измерительном приборе и в фильтрующей цепи выпрямителя. Все эти элементы действуют как низкочастотный фильтр с полосой Частота со настройки фильтра обычно может изменяться в широких пределах перестройкой местного гетеродина. Подавая стохастический процесс на такой прибор, можно определить его энергетический спектр. Оценка подобна представленной выше. Коэффициент передачи входного фильтра соответствует весовой функции а время интегрирования контура измерительного прибора — длине анализируемого образца. Чтобы среднеквадратичная величина флуктуаций измерительного прибора составляла небольшую часть от среднего значения, видеополоса должна быть много меньше полосы пропускания фильтра: Количественное изучение работы анализатора спектра проведено Давенпортом, Джонсоном и Мидлтоном [10].

Выше указывалось, что спектральное представление (2.11) стохастического процесса будет полезно при рассмотрении преобразования этого процесса линейным фильтром. Если мы представим, что длинные образцы сигнала на входе и сигнала на выходе периодически повторяются, можно написать

Коэффициенты этих рядов Фурье связаны формулой

где коэффициент передачи фильтра. Отсюда так как в пределе, при большом

квадраты коэффициентов пропорциональны энергетическим спектрам сигнала на входе и выходе соответственно,

Формула (2.26) должна быть справедливой для всех частот так как частоты соответствующих компонент разложения Фурье становятся очень близкими при

Таким образом, получаем важный результат, что энергетический спектр сигнала на выходе линейного спектра равен произведению энергетического спектра входного сигнала на квадрат абсолютной величины коэффициента передачи фильтра.

Это соотношение можно также получить, используя соотношение (2.19), связывающее энергетический спектр и автоковариацию. Из (1.7) имеем

где -импульсная характеристика фильтра. Пусть автоковариации входного и выходного сигналов соответственно. Используя соотношение (1.9) между импульсной характеристикой и коэффициентом передачи фильтра получим

Формула (2.26) сразу получается отсюда с помощью преобразования Фурье.