5. Узкополосный шум

В разд. 3 и 4 гл. 1 были рассмотрены узкополосные сигналы и фильтры, спектры и коэффициенты передачи которых существенно отличны от нуля в полосах частот около некоторой высокой "несущей" частоты 2 и ее отражения — 2, причем ширина полос мала по сравнению с 2. Подобно этому мы можем встретиться со случайным шумом, спектр мощности которого отличен от нуля только в таком ограниченном интервале частот. Будем называть подобный шум "узкополосным". Удобно записывать его спектр мощности в виде

где действительная функция с существенными значениями только вблизи Функция автоковариации такого узкополосного шума находится подстановкой (2.42) в

преобразование Фурье (2.19):

где комплексная функция определена формулами

Так как действительна, звездочкой отмечена комплексно-сопряженная величина. действительна, если только узкополосная часть спектра симметрична относительно Так как модуль есть функция с пиком при Эта функция уменьшается почти до нуля для значений порядка величины, обратной ширине Для узкополосного шума функция автоковариации при изменении дает много осцилляций "частоты" 2. Функция представляет собой комплексную огибающую этих осцилляций. Будем называть комплексной функцией автоковариации (узкополосного) шума, узкополосным спектром.

Пусть шум со спектром мощности преобразуется узкополосным фильтром, коэффициент передачи которого выражается формулой (1.26)

Согласно (2.26), спектр мощности на выходе

так как для узкополосного фильтра произведение мало по сравнению с другими членами. Если спектр мощности на входе значительно шире

коэффициента передачи фильтра, можно заменить его значением при или . Сравнивая с (2.42), найдем, что

для узкополосного спектра на выходе на всех частотах где эта функция имеет существенную величину. Если, с другой стороны, шум на входе является узкополосным со спектром (2.42), найдем

отбросив все члены в (2.45), малые в этом приближении. Таким образом, узкополосные спектр и коэффициент передачи можно использовать во многом подобно тому, как и первоначальные функции

До сих пор наше рассмотрение узкополосного шума было в основном формальным. Чтобы придать определениям больше содержания, желательно определить комплексную огибающую шума и, если возможно, связать статистические свойства огибающей с функциями Следовало бы дать такое определение комплексной огибающей узкополосного шума при котором

где — квадратурные составляющие шума. При этом метод рассмотрения узкополосных сигналов и шумов будет одним и тем же.

Для этой цели используем представление шумового напряжения даваемое формулой (2.22), разбив ее на части с положительными и отрицательными частотами:

где — длина образца шума, который считается периодически повторяющимся. Позже мы положим Методика здесь та же, что и использованная для определения комплексной огибающей сигнала в разд. 3 гл. 1. Так как Для узкополосного шума существенное значение имеют только коэффициенты соответствующие частотам вблизи несущей частоты . В пределе, при их среднеквадратичные значения даются для положительных формулами (2.23) и (2.42):

где частота близка к . Если теперь определим комплексную огибающую выражением

то сможем пренебречь всеми членами, за исключением тех, у которых близка к , и будет медленно меняющейся функцией времени. Среднеквадратичные значения коэффициентов велики только в области значений определяемой шириной узкополосного спектра так что изменения происходят лишь за промежутки времени порядка величины, обратной ширине полосы спектра. За это время происходит большое число колебаний несущей частоты Таким образом, функция обладает желаемыми свойствами комплексной огибающей.

Определим теперь ковариации квадратурных компонент и этой комплексной огибающей. Так как для положительных значений и сот коэффициенты некоррелированы тпфп), используя (2.50), найдем в пределе, при большом

где - интервал между частотами Используя определение (2.44) комплексной автоковариации, получим

Аналогично с помощью соотношения , которое выполняется в пределе, при большом для всех положительных значений можно получить

Эти две формулы будут полезны в дальнейшем. Из них легко вывести, что ковариации квадратурных компонент и узкополосного шума определяются выражениями

Эти равенства связывают ковариации квадратурных компонент узкополосного шума с их комплексной функцией автоковариации представляющей собой "огибающую" функции автоковариации Они используются, например, при определении функции плотности вероятностей на выходе детекторов и дискриминаторов с гауссовым шумом и, возможно, некоторым узкополосным сигналом на входе. Заметим, что, если шум обладает гауссовым распределением, такое же распределение имеют действительная и мнимая части коэффициентов в (2.51), так как они связаны с линейным соотношением (2.24). Компоненты комплексной огибающей также представляют собой гауссов стохастический процесс, так как они состоят из линейной комбинации гауссовых случайных переменных. Если спектр шума симметричен относительно несущей частоты квадратурные компоненты статистически независимы. Статистические свойства огибающей узкополосного шума рассмотрены Райсом [2], Бунимовичем [6], Аренсом [16] и Дугунджи [19].

Вообще говоря, белый шум нельзя непосредственно выразить через квадратурные компоненты, так как его спектр перекрывает слишком широкий интервал частот. Однако в задачах, касающихся обнаружения узкополосных сигналов в белом шуме,

было бы удобно представлять шум на входе таким образом. Для этого можно допустить, что сигнал и шум прошли через фильтр, полоса пропускания которого включает спектр сигнала, но много шире его. Обычно можно считать этот новый фильтр узкополосным. Он будет мало влиять на обнаруживаемость сигнала, так как срежет только составляющие шума с частотами, далекими от частот сигнала, и почти совсем не подействует на полезный сигнал. При этом можно записать белый шум в виде

где

Эти соотношения согласуются с определением (2.44), а также с формулами (2.46) и (2.47), в которых могут быть положены равными При рассмотрении белого шума как узкополосного, спектр которого постоянен в некотором интервале частот (обычно в полосе частот сигнала), никаких формальных трудностей не возникает. Во многих задачах обнаружения такое рассмотрение представляет интерес и часто приводит к значительным упрощениям.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)