3. Проверка простых гипотез при многократных измерениях

Теория, развитая в предыдущем разделе, может быть легко распространена на более обычный случай, когда выбор между двумя гипотезами основывается на

результатах более чем одного измерения. Пусть измеренными величинами будут Они могут представлять последовательно измеренные величины некоторого физического параметра, результаты одновременного измерения различных параметров или же любую комбинацию этих возможностей. Известно, что эти величины описываются функциями плотности совместного распределения вероятностей при гипотезах соответственно.

Фиг. 3.4. Области решений для двух измерений.

Конечно, испытание можно рассматривать как выбор одной из этих функций распределения, являющейся лучшим описанием результатов эксперимента. Слово "лучше" определяется в смысле одного из критериев решения, введенных выше. Если функции распределения не содержат неизвестных параметров, соответствующие гипотезы называются "простыми". Мы временно раиичимся именно этим случаем.

Для наглядности удобно представить систему результатов эксперимента точкой в -мерном декартовом пространстве с координатами Стратегия принятия решения может быть представлена как разделение этого пространства на две области: Наблюдатель выбирает гипотезу когда точка результата измерения х лежит в когда она лежит в Области разделены

поверхностью известной под названием "поверхность решения". Стратегия может быть также описана системой неравенств для переменных но геометрическое представление менее громоздко. На фиг. 3.4 изображены области решений для эксперимента с двумя измерениями. Положение поверхности должно быть определено в соответствии с применяемым критерием.

Наблюдатель, имея матрицу цен С (3.7), которая дает цены, сопровождающие каждое возможное решение при обеих гипотезах, а также зная априорные вероятности С гипотезы гипотезы может применить байесов критерий минимума среднего риска. По аналогии средний риск при решении

где элемент объема в -мерном пространстве результатов измерений х. Первый интеграл в уравнении (3.18) есть вероятность того, что при справедливости гипотезы результаты эксперимента будут представлены точкой в области после чего наблюдатель сделает правильный выбор гипотезы Этот интеграл умножен на цену этого решени». Два члена в первой скобке составляют риск, связанный с гипотезой Риск умножен на априорную вероятность (или относительную частоту) С того, что эта гипотеза справедлива.

Байесов критерий требует, чтобы поверхность решений была выбрана так, чтобы средний риск [формула (3.18)] был минимален. Методом, использованным для случая одного измерения (3.11), можно доказать, что этот критерий удовлетворяется, когда наблюдатель вычисляет коэффициент правдоподобия

для данной системы х результатов эксперимента, сравнивает его с величиной и решает в пользу гипотезы

или в зависимости от того, какое из неравенств, или выполняется. Таким образом, уравнение поверхности решений есть область состоит из точек х, для которых из точек, для которых При использовании этих областей байесова решения минимальный средний риск определяется формулой (3.18). Байесова стратегия может быть определена как выбор гипотезы, дающей меньший условный риск; условные вероятности и риски двух гипотез определяются формулами подраздела (б) раздела 2, если в них одиночный результат измерения х заменить системой х.

Когда матрица цен С дана, но априорные вероятности неизвестны, может быть применен минимаксный критерий. Для каждого значения априорной вероятности С можно вычислить минимальный средний риск для байесова решения, данного выше. Минимаксной стратегией является байесова стратегия для такого значения для которого принимает наибольшее значение. Минимаксный риск равен этому максимальному значению

С каждой точкой х в пространстве, представляющем результаты измерений, связано значение коэффициента правдоподобия определенного соотношением (3.19). Величина является случайной переменной с функциями распределения при гипотезах соответственно. Вычислить эти функции распределения можно следующим образом. Пусть область в -мерном пространстве, для которой коэффициент правдоподобия При гипотезе вероятность, что система результатов измерений х лежит в равна

Эта функция X является интегральным распределением коэффициента правдоподобия. Дифференцируя ее по X, получаем. искомую функцию распределения плотности вероятностей Аналогичная операция при использовании дает При помощи этих функций вероятности

и ошибок первого и второго рода соответственно выражаются как

Риски связанные с гипотезами и соответственно, можно теперь выразить через эти вероятности формулами

Так же как и раньше, минимаксная стратегия характеризуется равенством этих рисков: Это условие при помощи формул (3.20) и (3.21) приводит к уравнению для величины с которой должен сравниваться коэффициент правдоподобия в процессе принятия решения. Значение этих равных друг другу рисков есть минимаксный риск

Критерий Неймана — Пирсона требует такого выбора поверхности решений чтобы минимизировалась вероятность ошибки второго рода, когда вероятность ошибки первого рода остается фиксированной. Этот критерий подходит, когда оценки априорных вероятностей недоступны, а цены, сопутствующие различным решениям, точно не известны. Наблюдатель каким-либо образом находит значение вероятности которое он может задать. Чем больше это значение, тем больше и вероятность 1 — правильной идентификации гипотезы

Чтобы найти оптимальное положение поверхности решений при этом критерии, можно использовать метод неопределенных множителей Лагранжа, составляя линейную комбинацию

Поверхность решений можно варьировать, пока эта линейная комбинация достигнет минимума. Результирующее

положение поверхности будет функцией множителя Сравнение уравнений (3.22) и (3.18) показывает, что они идентичны для матрицы цен и априорных вероятностей Теперь из (3.19) и (3.10) находим, что уравнение поверхности которое минимизирует имеет вид

Оптимальная поверхность решений является, таким образом, одной из семейства поверхностей, получающихся при варьировании X в соотношении (3.23). Выбирается то значение X, для которого вероятность

равна предписанному значению; обозначим это значение X через Таким образом, критерий Неймана — Пирсона приводит к стратегии, в которой коэффициент правдоподобия (3.19) сравнивается с фиксированной константой Гипотеза выбирается, если если Из графика, представляющего мощность испытания как функцию вероятности ошибки первого рода — "рабочей характеристики" испытаний, могут быть найдены байесовы и минимаксные решения [подраздел (г) разд. 2].

В качестве простого примера применения этих методов предположим, что измеряемые величины статистически независимы и имеют гауссово распределение с дисперсией Пусть среднее каждой величины равно при гипотезе при гипотезе Функция их совместного распределения плотности вероятности

Отношение правдоподобия теперь выражается формулой

Наблюдатель будет выбирать гипотезу когда где величина зависит от применяемого критерия решения. Так как экспоненциальная функция является монотонной, принятие решения может точно так же основываться на значении

так называемом выборочном среднем наблюдений, которое должно сравниваться с величиной даваемой формулой

Гипотеза выбирается, когда когда при В противном случае неравенства изменяются на противоположные. Если используется байесов критерий, зависит от цен и априорных вероятностей через которое дается формулой (3.10). В этой задаче поверхность решений является плоскостью

Выборочное среднее X есть гауссова случайная переменная, так как она является линейной комбинацией гауссовых случайных переменных. Ее среднее, или ожидаемое, значения при гипотезах составляют соответственно, а дисперсия равна Вероятности ошибок первого и второго рода имеют вид

где снова интеграл функции ошибок. Чтобы применять критерий Неймана — Пирсона, наблюдатель выбирает значение так, что вероятность ошибки первого рода принимает предписанное значение.

В качестве второго примера предположим, что наблюдатель должен решить, какой из двух источников гауссову случайного шума присутствует, причем один имеет среднеквадратичное напряжение а другой — Среднее значевде

шумового напряжения" в обоих случаях равно нулю. Наблюдатель измеряет напряжение в моментов времени, достаточно далеких друг от друга, чтобы результаты были статистически независимыми. Две гипотезы, между которыми он должен выбирать, это среднеквадратичное значение напряжения равно среднеквадратичное значение напряжения равно Совместная функция плотности распределения вероятностей системы измеренных напряжений выражается формулой

Коэффициент правдоподобия для этих измерений

Наблюдатель вычисляет этот коэффициент правдоподобия для результатов своего эксперимента и сравнивает его с фиксированной величиной Если он решает, что среднеквадратичное напряжение источника шума было Если поверхность решений есть -мерная гиперсфера радиуса определяемая соотношением из которого следует

Областями и являются соответственно внутренняя и внешняя части этой гиперсферы. Поэтому, чтобы сделать выбор, наблюдателю необходимо лишь вычислить сумму квадратов

Если он выбирает гипотезу в противном случае -

Чтобы вычислить вероятности ошибок, необходимо найти функции плотности распределения вероятностей суммы Они могут быть подсчитаны при помощи описанного выше метода для нахождения функции плотности распределения

вероятностей отношения правдоподобия. При гипотезу вероятность того, что равна

где область -мерная гиперсфера, ограничивающая поверхность которой описывается уравнением

Объемный интеграл может быть вычислен при использовании формулы для объема такой сферы. Если радиус-вектор, направленный в точку внутри сфёры, имеет длину объем сферического слоя толщиной равен

где гамма-функция. Для целых положительных значений х функция Для половинных значений можно использовать формулы Таким образом, .

Подставив в приведенный выше интеграл, получим

Дифференцируя по и полагая получим функцию плотности вероятности

Для эта формула дает распределение степеней свободы [10]. Имеются обширные таблицы этого

распределения [11], с помощью которых можно вычислить вероятности ошибок и Можно также воспользоваться таблицами неполной гамма-функции [2].