4. Узкополосные фильтры

Часто узкополосные сигналы удобно преобразовывать при помощи которые ослабляют составляющие всех частот, за исключением частот вблизи спектра входного сигнала. Анализ этих фильтров иллюстрирует упрощения, следующие из допущения об узкополосности. Здесь мы имеем дело с линейными фильтрами с узкой полосой пропускания, которые меньше всего ослабляют составляющие с частотами в интервале ширины вблизи некоторой высокой частоты 2» причем Коэффициент передачи такого фильтра удобно записать в виде

где комплексная функция существенно отличается от нуля в узком интервале частот около формулы (1.26) удовлетворяет условию симметрии которое является следствием действительности импульсной характеристики Если линейный фильтр с узкой полосой пропускания состоит из элементов с сосредоточенными постоянными, полюсы коэффициента передачи лежат вблизи и Разложение (1.26) можно получить из формулы (1.15), относя компоненты с полюсами вблизи к остальные составляющие .

Используя (1.9) и (1.26), импульсную характеристику узкополосного фильтра можно записать в следующем виде:

где

Если ширина интервала частот, в котором существенно отлична от нуля, равна функция сильно меняется

за время х порядка По аналогии с представлением об огибающей узкополосного сигнала можно рассматривать как половину комплексной огибающей импульсной характеристики узкополосного фильтра. Когда такой фильтр возбужден кратковременным импульсом, в нем происходят колебания и сигнал на выходе имеет частоту 2; эти колебания затухают со временем по закону, даваемому огибающей

Покажем, что огибающая преобразует комплексную огибающую сигнала на входе в комплексную огибающую сигнала на выходе по формуле (1.7). Пусть сигналы на входе и выходе узкополосного фильтра соответственно равны

Они связаны уравнением (1.7). Подетавив (1.29) и (1.27) в (1.7), получим обозначает комплексно-сопряженное значение предшествующего члена)

При узкополосной апроксимации второй парой членов можно пренебречь, поскольку их подынтегральные выражения изменяются так быстро по сравнению с подынтегральными выражениями первой пары членов, что их величины относительно малы. Сравнение оставшихся членов с выражением (1.29) показывает, что

Таким образом, комплексную огибающую сигнала на выходе можно найти по огибающей сигнала на входе при помощи более простой импульсной характеристической функции

которая не содержит осдилляций импульсной характеристики Будем называть определенную (1.27) или (1.28), комплексной импульсной характеристикой узкополосного фильтра.

Проиллюстрируем эти результаты на примере фильтра, состоящего из простого резонансного контура (фиг. 1.6).

Фиг. 1.6. Простой резонансный контур.

Если входные и выходные напряжения измеряются так, как это показано на рисунке, коэффициент передачи

Полюсы находятся в точках — и

Для узкополосного, или высокодобротного, фильтра и мы можем считать частотой настройки Эта частота близка к резонансной частоте Легко показать, что удовлетворяет (1.26), когда оно определено выражением

В соответствии с (1.28) комплексная импульсная характеристика имеет простой вид:

Для медленно модулированного входного сигнала с несущей частотой, близкой к или когда сколько-нибудь сложная функция, значительно легче вычислить модуляцию выходного сигнала по формулам (1.33) и (1.30), чем применяя обычные методы, приводящие к формулам, подобным (1.7).