Глава 11. СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ

1. Обнаружение стохастических сигналов

(а) Проблема решения

Выше предполагалось, что форма сигнала задана и только некоторые его параметры, такие, как амплитуда, фаза и время появления, неопределенны или неизвестны. Однако можно рассмотреть ситуацию, когда форма сигнала неопределенна, т. е. когда сигнал получен путем выбора из ансамбля возможных сигналов, который может быть описан только статистически. Например, в двоичной (бинарной) системе связи символ может передаваться посылкой отрезка шума в некотором диапазоне частот, же может быть представлен отсутствием такого искусственного шума. В системе связи с многолучевым распространением, использующей распространение радиоволн далеко за горизонт, импульсные сигналы передаются таким образом, что они отражаются от ионосферных слоев высоко над землей. При этом принимаемые сигналы являются суммой импульсов, прошедших различные пути, отличающиеся хаотически по длине и ослаблению. Это приводит к тому, что принимаемые сигналы приобретают характеристики узкополосного хаотического шума. Сигналы природного происхождения, такие, как импульсы от так называемых радиозвезд, также ведут себя подобно шуму. Во время боевых действий одна сторона может стараться скрыть приближение своих бомбардировщиков излучением хаотического шума в определенном участке спектра так, чтобы подавить радиолокационную систему противника. Было бы полезно обнаруживать такие сигналы помех на возможно большем расстоянии. Проблема оптимального обнаружения таких случайных или "стохастических" сигналов при

наличии тепловых шумов и является предметом рассмотрения настоящей главы

Для отыскания оптимальной системы обнаружения стохастических сигналов может быть применена статистическая теория обнаружения сигналов. Для иллюстрации методов воспользуемся частной моделью сигналов и шумов, при наличии которых эти сигналы принимаются. Это та же модель, которая применялась Прайсом [14] при изучении вопроса об обнаружении сигналов в системах связи с многолучевым распространением. Она обладает большой общностью и тем преимуществом, что ее математическое рассмотрение может быть продвинуто очень далеко. Мидлтон [16] применил теорию статистических решений к проблеме обнаружения таких сигналов, продолжив работы Дэвиса [9] и Юла [12]. Наше изложение будет служить также введением к работам Каца и Зигерта [3,17] по отысканию распределений вероятностей на выходе фильтров, следующих за квадратичными детекторами.

Примем, что сигнал который должен быть обнаружен, является отрезком узкополосного шума, комплексная огибающая которого промодулирована некоторой известной, вообще говоря комплексной низкочастотной функцией Если — несущая частота, сигнал представится формулой

Его комплексная огибающая Об огибающей шума известно только то, что ее составляющие являются стационарными гауссовыми случайными процессами. Их средние значения равны нулю, а ковариации в соответствии с уравнениями (2.52) — (2.53) удовлетворяют соотношениям

в которых комплексная функция известна. При этом комплексная ковариация ансамбля сигналов будет

Функцией модуляции может быть, например, простой прямоугольный импульс, тогда сигнал отличается от нуля только на протяжении интервала

В работе Прайса [14] сигналом является сумма сигналов, подобных (11.1):

где — огибающие независимых случайных образцов шума с автоковариацией Задержки возникающие, например, при рассеянии переданного сигнала фиксированными отражателями, предполагаются известными. [При этом уравнение (11.3) заменяется соотношением

Прайс рассмотрел также возможность того, что приемник должен производить выбор из некоторого количества различных сигналов Случай, когда запаздывания неизвестны и случайны, не рассматривался с точки зрения теории статистических решений, однакб система связи с многолучевым распространением, работающая в этих условиях, описана в статье Прайса и Грина [18].

Комплексная огибающая на входе системы она наблюдается на некотором интервале на протяжении которого приходит в известное время сигнал (если он присутствует). Хотя исходный случайный процесс стационарен, модуляция приводит к его изменениям во времени, которые предполагаются известными. На входе всегда имеется гауссов шум, на который налагается сигнал при его появлении. Мы предположим, что спектр этого шумового фона гораздо шире спектра сигнала. Так как действительная ширина спектра шумового фона в окончательные результаты не войдет, этот шумовой фон можно считать белым шумом. В соответствии с соображениями,

приведенными в конце разд. 5 гл. 6, этот шум можно представить двумя квадратурными составляющими, ковариации которых заданы в форме комплексной автоковариации огибающей где спектральная плотность мощности шума. Так как сигналы и шум, будучи статистически независимыми, суммируются, автоковариации огибающей на входе при наличии сигналов и шума равна

На основе анализа напряжения на входе наблюдатель должен каким-либо образом сделать выбор между двумя гипотезами: присутствует один шум и присутствует шум с одним из сигналов принадлежащих к ансамблю сигналов. Критерием для оптимального выбора может служить один из рассмотренных в гл. 3: байесов, минимаксный, Неймана — Пирсона. Какой бы из критериев не был принят для оптимальной стратегии обнаружения, необходимо, чтобы приемник вычислял коэффициент правдоподобия — отношение между совместными плотностями вероятностей выборочных значений огибающей на входе при первой и второй гипотезах. Перейдем к определению этого коэффициента правдоподобия.

(б) Определение статистики испытания

Как было показано в разд. 3 гл. удобный аналитический способ выборочного представления входного колебания состоит в разложении его в ряд Фурье по собственным функциям некоторого интегрального уравнения. Доказательства многих соотношений, применяемых далее, такие же, как и соотношений, приведенных в подразделе (б) разд. 3 гл. 4. Предположим, что комплексные функции ортонормальны в интервале

Образцы огибающей при этом определяются формулой

Для образования величин и входное колебание может быть пропущено через фильтр, согласованный с сигналом Квадратурные составляющие колебания на выходе фильтра наблюдаются в конечной точке интервала Мы предположим, что это проделано для конечного числа значений Впоследствии можно будет сделать бесконечно большим.

В качестве ортонормальных функций берутся собственные функции интегрального уравнения

Его ядро положительно определенное и эрмитово как это следует из определения (11.3). Поэтому собственные значения вещественны и положительны. Мы расположим их в порядке убывающих значений:

Когда присутствует один шум, компоненты являются независимыми гауссовыми случайными величинами при всех Их средние значения равны нулю, а дисперсии

При справедливости гипотезы функция плотности вероятности их совместного распределения будет

Когда присутствуют и сигнал и шум, ковариации составляющих выборочных значений даются формулами:

Так как собственные значения вещественны, получаем

Все квадратурные составляющие статистически независимы. Таким образом, при справедливости гипотезы функция плотности вероятности совместного распределения выборочных значений равна

Этот результат можно получить и другим путем. Представив огибающую сигнала согласно (11.5), получим систему комплексных образцов функция плотности вероятности совместного распределения действительных и мнимых частей которых, как легко видеть, равна

Условное совместное распределение комплексных случайных величин при наличии сигнала дается формулой

так как сигнал и шум аддитивно наложены друг на друга. Перемножив эти выражения и проинтегрировав произведение по всем составляющим комплексных переменных получим формулу (11.11):

это очевидный результат, поскольку при справедливости гипотезы составляющие являются суммами независимых гауссовых случайных величин, имеющих нулевое среднее значение и дисперсии соответственно.

Коэффициент правдоподобия получим как отношение (11.11) и (11.8):

Если применяется байесов критерий, коэффициент правдоподобия должен быть сопоставлен с величиной даваемой формулой (3.10). Эта величина зависит от априорных вероятностей гипотез и цен четырех возможных комбинаций между решениями и истинными ситуациями. Если используется минимаксный критерий, заданы только цены, и байесов риск вычисляется как функция априорной вероятности С гипотезы Наблюдатель использует значение соответствующее той априорной вероятности С, при которой получается максимальным. При критерии Неймана — Пирсона величина определяется по заранее заданному значению вероятности ложной тревоги

Чтобы использовать всю информацию, содержащуюся в огибающей желательно сделать число образцов по возможности большим. Если пределы существуют, используют коэффициент правдоподобия

В этом выражении входит только в экспоненциальный множитель, так что статистику испытания можно определить формулой

Вследствие монотонности экспоненциальной функции выбор между двумя гипотезами может быть сделан путем сравнения статистики с некоторым уровнем если наблюдатель решает, что сигнал присутствует. Уровень определяется в соответствии с используемым критерием. При байесовом критерии он может быть определен непосредственно формулой

В следующем разделе мы покажем, как с помощью комбинации линейных фильтров с переменными параметрами и детекторов можно вычислить бесконечную сумму в этом выражении и получить статистику испытания U.

(в) Существование статистики испытаний

Существование статистики испытаний даваемой формулой (11.13), зависит от того, имеет ли выражение

предел когда со. Так как случайные величины, также случайны, и лучшее, что можно ожидать, это сходимости "по вероятности":

как бы мало ни было Согласно Бартлетту [13, гл. 5], достаточно доказать, что

Это условие будет выполнено, если ряд для дисперсии статистики сходится к конечному пределу. Сейчас мы получим этот ряд.

Так как компонента есть гауссова случайная величина с нулевым средним значением, среднее значение величины при гипотезе в соответствии с (11.10) равно

Дисперсии квадратов случайных величин равны

Поэтому, согласно (11.13), ряд для дисперсии статистики при гипотезе имеет вид

Можно показать, что при гипотезе получается следующий ряд для дисперсии статистики

Каждый член этого ряда меньше соответствующего члена ряда (11.15). Поэтому, если получается сходимость при гипотезе будет иметь место сходимость и при гипотезе

Для ядра уравнения (11.6) имеем выражение, аналогичное (4.38), а именно

Это выражение может быть получено тем же путем. Умножая этот ряд сам на себя, интегрируя и используя соотношение ортонормальности (11.4), получим

Полагая и интегрируя снова, найдем, что дисперсия из (11.15) может быть записана в виде

Если этот интеграл существует, можно быть уверенным, что дисперсия по формуле (11.15) конечна, и, следовательно, статистика существует.

Это не было бы правильно, если бы, например, сами сигналы содержали белый шум, так как тогда ядро содержало бы дельта-функции и двойной интеграл (11.17) не был бы конечен. В этом случае ряд для среднего

также расходился бы.

Когда рассмотренные выше пределы не существуют, обычно оказывается возможным в принципе на основе наблюдения входного сигнала в течение конечного интервала времени произвести выбор между гипотезами с такой малой вероятностью ошибки, какая желательна, при использовании достаточно большого числа образцов. Предположим, например, что как сигналы, так и шум имеют спектр, равномерный в широком интервале частот . Возьмем образцы входного колебания в моментов времени, удовлетворяющих соотношению де кратно и найдем оценку дисперсии входного сигнала

Пусть дисперсия шума есть а дисперсия сигнала — При этом, когда присутствует сигнал, дисперсия образцов записывается в виде При

равномерном спектре ковариации образцов исчезают, если моменты времени выбраны так, как описано выше [см. (2.40)]. Поэтому, если сигнал и шум гауссовы, при гипотезе получаем

а при гипотезе

Если взять достаточно большим, может быть сделана как угодно малой. Поэтому, если мы будем выбирать гипотезу при где критический уровень К находится в интервале полная вероятность ошибки может быть сделана как угодно малой, если взять достаточно большим. Единственное ограничение на число образцов накладывается шириной спектра Чтобы наши образцы оставались статистически независимыми, необходимо, чтобы выполнялось неравенство если сигналы и шум являются "белыми", такого ограничения нет.

Вообще, когда как сигналы, так и шум обладают одинаковым спектром, представляется, что выбор между гипотезами и может быть сделан с исчезающей вероятностью ошибки. Пусть автоковариация шума будет а автоковариация сигнала — Необходимо решить только, пропорциональна ли дисперсия входного напряжения или Пусть собственные значения ядра будут Строим систему, образующую величину

где образцы огибающей входного напряжения, полученные так же, как и в (11.4) — (11.6). Средние значения и

дисперсии статистики при двух гипотезах равны

Снова при увеличении числа дисперсии статистики уменьшаются, в то время как их средние значения остаются фиксированными. Беря точку К между средними и принимая гипотезу если можно сделать вероятность ошибки как угодно малой, взяв число достаточно большим. Эта процедура может быть выполнена, если собственные значения и собственные функции ядра существуют для всех ограниченных значений Это обстоятельство было отмечено Гренандером [4]. Общее условие, при котором можно произвести выбор между гипотезами и с исчезающей вероятностью ошибки, было дано Дэвисом [9]. Если автоковариации шума и сигнала равны соответственно и собственные значения этих ядер равны и условие Дэвиса записывается в виде

Слепян [19] рассмотрел случай хаотического процесса стационарного и гауссова при гипотезах со спектрами мощности соответственно Он показал, что можно произвести выбор между двумя гипотезами с исчезающей вероятностью ошибки, используя только значения входного напряжения наблюдаемые в интервале 0 если: а) или имеет ограниченную ширину или является рациональной функцией и б) имеет ограниченную ширину или является

рациональной, причем, если оба спектра — рациональные функции, должно быть

В последующем мы будем предполагать, что статистика испытания в том виде, как она определена в (11.17), существует и может быть использована как основа для оптимального обнаружения сигнала. (Если в какой-либо частной задаче окажется, что это не так, следует поставить вопрос о справедливости статистического описания сигналов и шума.) Ниже мы укажем, как может быть образована статистика из входного напряжения методом, не требующим суммирования бесконечных рядов. Вычисление вероятностей ложной тревоги и обнаружения для таких систем обнаружения стохастических сигналов будет обсуждаться в следующем разделе.