3. Ряды Грам-Шарлье

Для больших значений функция плотности вероятности статистики вследствие центральной предельной теоремы [3] близка к гауссовой, так как в этом случае она является суммой большого числа независимых случайных переменных. Сейчас мы получим приближенное выражение функции распределения имеющее в пределе гауссов характер; это приближение может быть использовано для вычисления вероятности обнаружения при большом числе наблюдений Метод, который будет применен, полезен при решении многих задач этого типа.

Разложим логарифм характеристической функции даваемой формулой (6.16), в ряд по степеням

где среднее значение случайной переменной дисперсия, так называемый кумулянт (или семиинвариант). Например, используя формулу (6.17), степенной ряд для логарифма и собирая члены с одной и той же степенью можно показать, что

и т. д. Конечно, мы должны предположить, что все моменты распределения х существуют. Функция распределения х есть обратное преобразование Фурье характеристической функции, которая теперь может быть записана в виде

Собирая члены с одинаковыми степенями можно записать

где коэффициенты даются формулами

Используя формулу из таблицы Эрдели [9, т. 1, стр. 121 формула (2.3)], находим, что обратное преобразование Фурье (6.35) имеет вид

Фигурирующие здесь полиномы Эрмита определяются формулами

Разложение (6.37) известно как "ряд Грам-Шарлье". Первый его член — обычная гауссова функция ошибки. Другие члены являются поправками к ней. Функции были табулированы в Гарвардской вычислительной лаборатории [7] для Заметим, что

есть одна из форм интеграла функции ошибки. Отметим также формулы

Вычисления при помощи рядов Грам — Шарлье рассматривал Фрай [1]. Он выяснил, что естественный порядок членов не является лучшим. В большинстве задач члены, написанные отдельно, было бы лучше объединить: так как члены в этих группах обычно одного порядка. Таким образом, если используются члены до нужно также присоединить и член

Чтобы использовать эти формулы для вычисления вероятности обнаружения нужно найти коэффициенты, которые появляются в разложении (6.37) функции распределения Простейший путь состоит в логарифмировании характеристической функции даваемой формулой (6.22):

Сравнивая члены одинаковой степени в (6.41) и (6.33), получаем для кумулянтов распределения статистики при гипотезе

Подставив эти выражения в (6.37), находим

Здесь члены уже сгруппированы указанным выше образом. За исключением первого, все члены становятся малыми при

Вероятность обнаружения получается при почленном интегрировании этого распределения, для которого можно

использовать соотношения (6.40) и написать

Эту формулу можно также использовать для вычисления вероятности ложной тревоги когда число велико, если положить Но для очень малых значений вероятности ложной тревоги, таких, как обычно целесообразнее применять (6.30).