Глава 4. ОБНАРУЖЕНИЕ ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА

1. Обнаружение в белом гауссовом шуме

С помощью теории статистических испытаний, введение в которую дано в предыдущей главе, можно рассмотреть простейшую задачу обнаружения сигнала имеющего известную величину, форму и время прихода, который может появляться наложенным на гауссов шум Сигнал на входе может представлять собой напряжение на входных клеммах приемной антенны, наблюдаемое в течение интервала наблюдения Рассматривая это входное напряжение, наблюдатель должен выбрать одну из двух гипотез: сигнала нет и входное напряжение состоит только из гауссового шума с нулевым средним значением, входное напряжение есть сумма ожидаемого сигнала и шума, . У наблюдателя имеется некоторый критерий, при помощи которого он оценивает свой успех при большом числе такого рода решений. Как уже обсуждалось в предыдущей главе, этот критерий будет влиять на способ анализа данных.

Сигнал, например, может быть прямоугольным импульсом длительности

Он появляется в определенное время внутри интервала наблюдения. Система связи могла бы использовать такие импульсы для передачи сообщения, зашифрованного бинарным кодом с символами и Каждые сек посылается или не посылается импульс в зависимости от того, передается сообщение или В конце каждого интервала наблюдатель

решает, какой из символов был передан. Вследствие наличия шума может оказаться, что он совершает ошибки. Его целью может быть минимизация вероятности соверши ошибку в предположении, что ошибки в каждом символе равнозначны. При этом его критерием решения будет байесов [подраздел (б) разд. 2 гл. 3] с относительными ценами если он знает относительные частоты с которыми передатчик посылает символы 0 и 1.

В этом разделе предполагается, что спектр мощности шума постоянен вплоть до некоторой высокой частоты среза т. е. что мешающий сигнал представляет собой белый шум, рассмотренный в разд. 4 гл. 2:

Размерность спектральной плотности мощности шума будет сек, если заданы в вольтах.

Стратегии решений, установленные в предыдущей главе, включают только конечное число результатов измерений. Поэтому начнем с предположения, что наблюдатель производит выбор между двумя гипотезами на основе рассмотрения напряжений измеренных в равноотстоящих моментах времени в интервале наблюдения Эти напряжения описываются функциями совместного распределения при гипотезах соответственно. Как было показано в гл. 3, принятое наблюдателем решение может быть основано на значении коэффициента правдоподобия

Это значение сравнивается с некоторым фиксированным критическим значением Если наблюдатель решает, что сигнала нет, т. е. принимает гипотезу Значение зависит от используемого критерия (байесов, минимаксный, Неймана — Пирсона).

Если интервал между измерениями несколько больше величины обратной ширине шумового спектра, переменные можно считать статистически независимыми и

при гипотезе плотность вероятности их совместного распределения

Дисперсии даются формулой Когда сигнал присутствует, часть напряжения обусловленная шумом, равна Поэтому при гипотезе функция совместного распределения измеряемых величин дается формулой (4.2) при замене на

Другими словами, при наличии сигнала величины являются независимыми случайными переменными со средним значением и дисперсией Задача принятия решения подобна приведенной в первом примере разд. 3 гл. 3. Коэффициент правдоподобия (4.1) имеет вид

Наблюдатель выбирает гипотезу если или (так как экспоненциальная функция монотонна) если

Он может, таким образом, основывать свое решение на значении величины

сравнивая его с некоторым фиксированным значением определенным в соответствии с принятым критерием. В -мерном декартовом пространстве с координатами поверхность решений представляет собой гиперплоскость

перпендикулярную вектору с компонентами

Если ширина полосы шума очень велика, как это имеет место в случае белого шума, интервалы могут быть сделаны очень малыми по сравнению с длительностью сигнала, а число измеряемых значений — большим. В пределе, при величина определяемая формулой (4.4), будет равна

Наблюдатель может использовать "статистику" О, даваемую формулой (4.5), если он может ее получить. В следующем разделе мы увидим, что статистику О можно получить, пропуская входной сигнал через линейный фильтр специального вида. При этом говорят, что решающая система осуществляет "взаимную корреляцию" входного напряжения и ожидаемого сигнала Отсюда и происходит ее название "корреляционный детектор".

Статистику О нужно сравнить с некоторым фиксированным критическим значением которое будем называть "критическим уровнем". Если наблюдатель решает в пользу гипотезы - "сигнала нет". Если он выбирает "сигнал есть". Значение определяется в соответствии с одним из критериев гл. 3. Статистика О является случайной переменной, описываемой одной из двух функций распределения или в соответствии с тем, присутствует сигнал или нет. Если когда сигнала нет, совершается ошибка первого рода, или "ложная тревога". Вероятность ложной тревоги

Если, наоборот, при наличии сигнала, делается ошибка второго рода, иногда называемая "пропуском". Ее вероятность равна Если правильно заявляемся, что сигнал есть при гипотезе говорят, что сигнал обнаружен. Вероятность этого события известна как "вероятность обнаружения"

Найдем функцию распределения плотности вероятности статистики О.

Так как величина О из формулы (4.5) есть результат линейной операции над гауссовой случайной переменной она также является гауссовой переменной. При гипотезе ее среднее значение так как При гипотезе среднее значение напряжения на входе в любой момент времени равно так как входное напряжение является суммой сигнала и шума. Поэтому среднее значение статистики О равно

Дисперсии О одинаковы при обеих гипотезах. Они даются соотношением

в котором мы применили функцию автоковариации белого шума в форме дельта-функции (2.41). Величина есть энергия, рассеиваемая на сопротивлении 1 ом в течение времени Наблюдения, если сигнал напряжение этом сопротивлении.

(кликните для просмотра скана)

Функции распределения плотности вероятности статистики могут быть найдены из формулы (2.32). Они равны

Вероятность ложной тревоги

а вероятность обнаружения

где интеграл функции ошибки [приложение Б, формула Величина

называется отношением сигнал/шум.

При применении критерия Неймана-Пирсона значение вероятности ложной тревоги фиксируется заранее, обычно на основе относительного числа ошибок первого рода, которое наблюдатель может допустить. Критический уровень находится после этого из формулы (4.11), а результирующая вероятность обнаружения дается формулой (4.12) как функция отношения сигнал/шум На фиг. 4.1 дана вероятность обнаружения как функция отношения сигнал/шум для различных значений вероятности ложной тревоги Уравнения (4.11) и (4.12) представляют в параметрической форме рабочую характеристику испытаний (рабочую характеристику системы обнаружения). Семейство рабочих характеристик для различных значений отношения сигнал/шум приведено на фиг. 4.2.

При применении байесова критерия "критический уровень" должен быть выбран так, чтобы минимизировать средний риск. Этот риск дается формулой (3.8), если х заменить статистикой области определятся условиями соответственно. Выводы разд. 2 гл. 3 непосредственно приводят к равенству

где элементы матрицы цен, априорная вероятность того, что сигнала нет. Из (4.10) получаем

или

Если априорные вероятности двух гипотез неизвестны, наблюдатель может использовать минимаксный критерий. Приравнивая риски двух гипотез, получаем уравнение (3.17) для "критического уровня"

Фиг. 4.2. Рабочие характеристики приемника (полностью известный сигнал).

Это уравнение может быть решено графически, как описано в подразделе (г) разд. 2 гл. 3, по рабочим характеристикам для заданного отношения сигнал/шум.

Часто оказывается удобным описывать эффективность систем обнаружения величиной отношения сигнал/шум для "минимального обнаруживаемого сигнала", т. е. тем значением при котором достигается определенная вероятность обнаружения при заданной вероятности ложной тревоги Например, если выбраны значения с помощью графика на фиг. 4.1 получаем

Можно считать, что напряжение сигнала на клеммах антенны приемника есть выходное напряжение некоторого генератора, включенного последовательно с эквивалентным импедансом антенны Максимальная мощность таким генератором отдается, когда он связан с нагрузкой, импеданс которой равен Энергия сигнала при этом будет

Эта энергия должна быть отдана источником сигнала. Можно считать, что шум, принятый антенной, создается генератором шума, включенным последовательно с эквивалентным импедансом Спектральная плотность напряжения на выходе генератора должна быть равна где — эффективная температура окружающих предметов (разд. 3 гл. 2). Шумовая мощность, отдаваемая антенной, присоединенной к согласованной нагрузке в интервалах частот равна Поэтому

т. е. отношение сигнал/шум равно Таким образом, энергия минимально различимого сигнала в приведенном выше примере должна составлять приблизительно -Минимально различимый сигнал имеет именно такой порядок величины при почти любом разумном выборе вероятностей Конечно, рассматриваемый здесь сигнал предполагается полностью известным по величине, форме и времени прихода. В радиолокационной практике параметры сигнала могут быть

известны лишь в некоторых пределах, следствием чего является уменьшение вероятности обнаружения или увеличение энергии минимально обнаруживаемого сигнала. Оптимальные стратегии для обнаружения менее определенных сигналов будут рассмотрены в следующих главах.