Глава 10. РАЗРЕШЕНИЕ СИГНАЛОВ

1. Задача разрешения сигналов

В предшествующих главах предполагалось, что каждому сигналу сопутствует только шум и других сигналов такого же типа, мешающих его обнаружению, нет. Принималось, что любые сигналы, которые могли бы присутствовать, приходят разделенными один от другого интервалами времени, большими по сравнению с их длительностью. При использовании стратегии обнаружения по максимальному правдоподобию в том виде, как она была развита в предыдущей главе для сигналов с неизвестным временем прихода, каждое превышение выходным напряжением детектора критического уровня необходимо было приписывать одному и только одному эхо-сигналу. Если бы сигнал оказался близким к другому сигналу такого же типа, но большей амплитуды, он мог бы быть пропущен, так как был бы скрыт ббльшим сигналом. Такая ситуация может возникнуть, например, если бы самолет-истребитель летел вблизи большого бомбардировщика; эхо от бомбардировщика могло бы затенить эхо-сигнал от истребителя. Процесс определения, содержит ли эхо радиолокатора два таких сигнала или один, известен как разрешение. Возможно, что эхо от цели, такой как низколетящий самолет, будет скрыто большим количеством эхо-сигналов от поверхности земли. При этом также говорят о разрешении сигнала, отраженного от летящего объекта, и мешающих отражений от местных предметов.

Эхо-сигналы от различных целей, получившиеся в результате отражения одного и того же излученного импульса, могут различаться по ряду признаков: а) по времени прихода х вследствие различия расстояний до целей; б) по несущей частоте 2 из-за различия скоростей целей и в) по углу 0.

характеризующему направление антенны, при котором амплитуда сигнала максимальна, из-за различия азимутов целей. Может быть необходимо разрешение при помощи некоторой комбинации этих параметров.

Рассмотрим простой случай двух сигналов где функции заданы, но амплитуды могут быть неизвестны. Первый сигнал будем называть сигналом А, второй — сигналом В. Сигнал В может быть копией сигнала А, приходящего позже или раньше: где запаздывание х известно. По входному напряжению принятому в течение интервала наблюдения наблюдатель должен выбрать одну из четырех гипотез: нет ни сигнала А, ни сигнала присутствует один сигнал присутствует один сигнал присутствуют оба сигнала Правило, по которому производится выбор гипотезы, может быть названо "стратегией разрешения".

Если бы шума не было, наблюдатель мог бы безошибочно решить, которая из гипотез справедлива, пропуска-! входное напряжение через соответствующие согласованные фильтры и наблюдая напряжения на выходе. Легко убедиться, что, помимо других, следующие две величины дают желаемые сведения:

где

и мы произвели нормировку сигналов так, что

Если гипотеза правильна, при гипотезе будет при наконец, при

Если какая-нибудь из величин в равна нулю, соответствующий сигнал отсутствует. Из разд. 2 гл. 4 видно, что величина А может быть получена пропусканием входного напряжения через фильтр, согласованный с сигналом т. е. через фильтр с импульсной характеристикой

Подобный же фильтр с импульсной характеристикой согласованный с сигналом может быть использован для получения величины В. Выходные напряжения этих фильтров в конце интервала наблюдения равны искомым значениям

Если на входе присутствует аддитивный случайный Шум величины не равны нулю, даже если сигналы отсутствуют, и наблюдатель вынужден решать статистическую задачу. Он должен принять некоторую стратегию, использующую либо полученные при испытании величины либо нёкоторые другие функционалы входного напряжения . С помощью таких величин он должен сделать выбор между четырьмя гипотезами таким образом, чтобы иметь некоторый постоянный средний успех. Чтобы найти эту стратегию, обратимся к теории статистической проверки гипотез.

Ясно, как может быть применен критерий Байеса, описанный в гл. 3, к нашей задаче, если задана матрица цен выбора гипотезы когда в действительности справедлива гипотеза и если заданы также априорные вероятности четырех гипотез и априорные функции распределения плотности вероятности амплитуд Стратегия Байеса основана на вычислении среднего условного риска для каждой гипотезы. Наблюдатель выбирает ту гипотезу, для которой этот условный риск имеет наименьшее значение. Условные

риски определены так же, как в подразделе (б) разд. 2 гл. 3.

Когда некоторые или все априорные вероятности и цены не определены, возникают те же трудности, что и в рассмотренной ранее простой задаче обнаружения. Общий метод проверки гипотез становится неприменимым. Тогда мы обращаемся к методу максимального правдоподобия, который был введен в предыдущей главе, когда речь шла об обнаружении сигнала с неизвестным временем прихода. Чтобы пролить свет на вопрос о разрешимости сигналов этого типа, мы найдем стратегию, обеспечивающую разрешение, и вычислим вероятности успеха и неудачи этой стратегии.

Для простоты предположим, что шум гауссов и белый со средним значением, равным нулю, и спектральной плотностью мощности Случай шума с неравномерным спектром может быть рассмотрен подобным же образом, но это мало помогло бы лучшему пониманию проблемы разрешения сигналов. Чтобы найти стратегию разрешения по максимальному правдоподобию, наблюдатель постулирует, что входное напряжение представляет собой сумму шума и сигналов определенного вида

Затем определяются максимально правдоподобные оценки параметров сигналов Взяв, как и в гл. 4, выборочные значения входного напряжения и переходя к пределу при большом числе таких выборочных значений, найдем, что максимально правдоподобными оценками являются оценки, минимизирующие квадрат ошибки

Легко доказать, что искомые оценки суть оценки, данные в (10.1). Как отмечалось выше, они могут быть

найдены измерением выходного напряжения фильтров с импульсными характеристиками в конце интервала наблюдения. Эти оценки теперь необходимо проверить, чтобы решить, могли ли значения, полученные при данных испытаниях, быть результатом действия только одного шума.

Когда сигнал отсутствует, оценка его амплитуды по имеет тенденцию быть малой величиной. Следовательно, разумно принять пределы для значений такими, что если оценка попадает между предписанными ей пределами, объявляется, что соответствующий сигнал отсутствует. Эта процедура эквивалентна разделению плоскости на четыре области: Гипотеза выбирается в том случае, если точка оценки попадает в область . Принятие решения о наличии сигнала не зависит от оценки В, так как принимаемые последней значения не зависят от истинной величины амплитуды которая может даже обращаться в нуль, не оказывая влияния на В. Таким образом, выбор между четырьмя гипотезами сводится к двум независимым выборам, относящимся к каждому сигналу; этот выбор может быть сделан путем сравнения абсолютных значений с некоторым критическим уровнем Значение определяется по цене ошибки, т. е. оно зависит от некоторой заранее назначенной вероятности ложной тревоги равной вероятности того, что оценка попадает в область или когда истинная амплитуда равна нулю.

Когда сигнал присутствует, среднее значение оценки независимо от того, есть ли сигнал В или нет, равно

в противном случае оно равно нулю. Подобным же образом Дисперсии этих оценок одинаковы:

Ковариации этих оценок равны

где спектральная плотность мощности шума.

Эти формулы получены таким же способом, как и (4.9), При нуль-гипотезе (сигнала А нет) функция распределения плотности вероятности оценки А выражается формулой

Если наблюдатель решает, что сигнал А присутствует при большем критического уровня вероятность ложной тревоги

где

Эта формула дает величину критического уровня, выраженную через заранее назначенную вероятность ложной тревоги.

вероятность обнаружения сигнала А также не зависит от того, присутствует или отсутствует сигнал В. Она дается формулой

где

Для фиксированной вероятности ложной тревоги вероятность обнаружения есть возрастающая функция величины где энергия сигнала в соответствующих единицах, принятая в течение интервала наблюдения. Чем больше перекрываются сигналы, тем ближе параметр X к единице и тем большее требуется отношение сигнал/шум для достижения заданной вероятности обнаружения каждого сигнала. Зависимость параметра X от формы сигналов будет детально рассмотрена ниже.

Поучительно представить сигналы и шум точками в -мерном векторном пространстве, где число независимых образцов входного напряжения в интервале измерения (разд. 1 гл. 4). Число образцов может быть сделано по желанию сколь угодно большим. Совокупность образцов представляется вектором подобным же образом векторы заменяют функции соответственно. Мы можем определить скалярное произведение двух векторов обычным способом

Положим Произведем нормализацию векторов сигналов так, что Теперь сигнал представлен вектором где неизвестны априори. Все возможные векторы-сигналы лежат в плоскости, проходящей через "базисные" векторы Говорят, что эти векторы заполняют подпространство сигнала.

В методе максимального правдоподобия предполагается, что входное напряжение имеет вид

и наблюдатель вычисляет максимально правдоподобные оценки амплитуд значения, которые минимизируют квадрат суммы Они даются формулами, аналогичными (10.1):

Вследствие гауссовой формы функции плотности вероятности при применении метода максимального правдоподобия делается предположение, что шум в течение интервала наблюдения таков, что вектор обладает минимальной длиной совместимой с интерпретацией входного напряжения в виде суммы сигнала и шума.

Из фиг. 10.1 видно, что вектор шума перпендикулярен к плоскости, содержащей все возможные сигнальные векторы Оценка сигнального вектора есть проекция вектора входного напряжения на эту плоскость; оценки суть проекции а следовательно, и на

векторы соответственно. Последние векторы перпендикулярны соответственно сигнальным векторам и образуют так называемую систему векторов, взаимных паре векторов

Фиг. 10.1. (см. скан) Геометрическое представление разрешения сигналов.

В плоскости, образованной базисными векторами области решений ограничены прямыми

линиями, перпендикулярными взаимным векторам, так как эти области определены соотношением между оценками и их критическим уровнем Поэтому линии, разграничивающие области решения, параллельны базисным векторам . В случае, показанном на фиг. 10.1, максимально правдоподобный выбор для сигнального вектора лежит в области так что принято решение "сигнал А присутствует, сигнал В отсутствует". В этом случае значение оценки В так мало, а вектор настолько близок к вектору что считается, что компонента вектора входного напряжения в направлении или оценка В является результатом действия одного шума. Мы видим, что параметр X равен косинусу угла между сигнальными векторами Чем меньше этот угол, тем труднее разрешить сигналы.

Если могут присутствовать не два, а сигналов: в стратегии разрешения по максимальному правдоподобию предполагается, что входное напряжение имеет вид

где амплитуд неизвестны. Максимально правдоподобные оценки этих амплитуд находятся минимизацией квадратичной формы

что приводит к системе линейных уравнений

Решение этих уравнений дает оценку в виде линейной комбинации величин Затем каждая оценка проверяется путем сравнения с критическим уровнем который определяется так же, как это было сделано выше, чтобы

получалась заданная вероятность ложной тревоги для сигнала. Если объявляется, что присутствует сигнал. Для вычисления вероятности ложной тревоги можно пользоваться формулой

где элементы матрицы, обратной матрице величин спектральная плотность мощности шума.

Геометрическая картина, представленная выше, может быть использована, чтобы сделать наглядной процедуру для числа сигналов больше двух при условии, что число образцов превышает Предполагается, что векторов соответствующих сигналам линейно независимы; все они заполняют -мерное подпространство -мерного пространства образцов. В этом подпространстве можно сформировать систему векторов взаимных векторам взяв перпендикулярным к векторам перпендикулярным

Максимально правдоподобная оценка коэффициента дается составляющей входного вектора в направлении взаимного вектора а оценка сигнального вектора есть опять проекция на подпространство. областей принятия решений ограничены парами гиперплоскостей, перпендикулярных к взаимным векторам Таким образом, область для принятия решения "сигнал отсутствует ограничена парой гиперплоскостей, параллельных гиперплоскости, содержащей векторы т. е. все векторы, кроме Это описание стратегии разрешения является геометрической аналогией данным выше аналитическим формулировкам. При соответствующей нормировке величины равны косинусу угла между единичными векторами

При помощи метода максимального правдоподобия можно легко рассмотреть ситуацию, когда сигналы, которые должны быть разрешены в присутствии белого гауссова шума, являются двумя узкополосными сигналами вида имеющими независимые и неизвестные фазы и амплитуды. Окончательная

стратегия предписывает наблюдателю оценивать амплитуды сигналов в соответствии с формулами

в которых комплексная огибающая напряжения на входе,

Оценка А может быть найдена пропусканием входного напряжения через фильтр, согласованный с узкополосным сигналом с огибающей за этим фильтром следует линейный детектор. Для получения оценки В фильтр согласуется с сигналом с комплексной огибающей Напряжение с его выхода также подается. на линейный детектор. Напряжение с выхода каждого из этих детекторов в конце интервала наблюдения сравнивается с критическим уровнем Если объявляется, что сигнал А отсутствует. Вероятности ложной тревоги и обнаружения даются формулами

в которых -функция, определенная так же, как в (5.51).

Попутно отметим, что если шум не белый, а описывается некоторой комплексной функцией автоковариации

параметр X в (10.17) заменяется на

где — решения интегральных уравнений

Фильтры для системы разрешения сигналов теперь согласованы с сигналами соответственно. В дальнейшем случай окрашенного шума мы рассматривать не будем.

В следующем разделе описана зависимость параметра разрешения X от формы излученного импульса, когда принимаемые сигналы отличаются только временем прихода и несущей частотой, отражаясь от целей, имеющих разные скорости и различные дальности. Ниже мы обсудим добавочную неопределенность, возникающую, когда положение двух целей точно не известно.