3. Оценка времени прихода при нескольких наблюдениях

В предыдущих разделах было показано, как можно оцет нить расстояние до радиолокационной цели при помощи измерения времени х между излучением одиночного импульса и приемом эхо-сигнала. Увеличение точности может быть достигнуто при измерении интервалов х между излучением и

приемом нескольких импульсов. Первое, что приходит в голову, — это усреднить оценки времени х, полученные для каждого эхо-сигнала методами, изложенными в разд. 1. Дисперсия такой усредненной оценки дается формулой

справедливой в пределе, при большом отношении сигнал/шум для каждого эхо-сигнала; равно полному числу эхо-сигналов, которые наблюдались. Если все равны имеем где пропорционально полной энергии эхо-сигнала, принятого от цели.

Возникает вопрос, существует ли какой-нибудь лучший, чем простое усреднение, метод оценки времени прихода когда могут наблюдаться несколько эхо-сигналов, или простое усреднение отдельных оценок является оптимальной процедурой. Ответ на этот вопрос зависит от того, что известно о сигналах и их относительных амплитудах. Сейчас мы будем искать максимально правдоподобную оценку времени основанную на наблюдении входных напряжений интервалах в предположении, что цель неподвижна и истинное значение времени х постоянно. Шум опять предполагается гауссовым и узкополосным с комплексной автоковариацией

В течение интервала наблюдения сигнал имеет такую же форму, как в разд. 1, а именно

где время в интервале измеряется от момента начала излучения импульса. Амплитуда сигнала равна а его фаза форма всех сигналов одинакова. Излучаемые импульсы некогерентны, и фазы являются независимыми случайными переменными; между ними нет корреляции, из которой наблюдатель мог бы извлечь пользу. Каждый интервал наблюдения длины так велик, что основная часть эхо-сигнала находится внутри интервала.

В каждом интервале наблюдения образуют образцы входного напряжения как в разд. 1, и получают серию выборочных значений, согласно (8.2). Предполагается, что интервалы достаточно далеки и шумовые напряжения в одном

интервале не зависят от шумовых напряжений в других. Следовательно, плотность вероятности совместного распределения выборочных значений во всех интервалах просто равна произведению плотностей вероятностей совместных распределений вида (8.4) с одним коэффициентом для каждого интервала. Вследствие свойств экспоненциальной функции максимизация результирующей совместной функции распределения вариацией параметров сигнала эквивалентна минимизации суммы -

[ср. формулу (8.5)], где комплексная огибающая входного напряжения в интервале наблюдения. Здесь векторы заданы системами амплитуд и фаз соответственно.

Чтобы найти максимально правдоподобную оценку времени х, мы должны сначала определить максимально правдоподобные оценки неизвестных фаз являющиеся значениями, минимизирующими сумму (8.34). Ввиду того что фазы независимые случайные переменные, можно минимизировать (8.34) по каждой фазе отдельно. Соображения, использовавшиеся в разд. 1 при выводе соотношений (8.7) и (8.8), применимы также и здесь. Окончательно получаем

Следующий шаг состоит в подстановке максимально правдоподобных значений амплитуд он зависит от допущений о их взаимозависимостях. Если антенна неподвижна и отраженные импульсы одинаковы, все амплитуды равны хотя их общая величина может быть

неизвестна. Если энергии всех зондирующих импульсов равны, но антенна движется, амплитуды выражаются формулой в которой коэффициенты известны, если известен азимут цели. Иначе говоря, амплитуды находятся в определенных отношениях, зависящих от диаграммы направленности антенны. С другой стороны, возвращающаяся энергия может меняться от одного импульса к другому — обстоятельство, называемое иногда "быстрым мерцанием". Корреляции между амплитудами при этом нет, и могут рассматриваться как независимые случайные переменные, причем значение каждой неизвестно. Эти случайные флуктуации амплитуды могут быть обусловлены атмосферными изменениями или движением частей цели, например пропеллера самолета. Часто некоторая корреляция между амплитудами существует, однако она не достаточна для того, чтобы можно было допустить, что эти амплитуды находятся в строго определенных отношениях между собой ("медленное мерцание"). Ясно, что наименее благоприятная ситуация — это когда амплитуды полностью независимы и неизвестны, так тогда наблюдатель имеет минимально возможное количество информации, помогающее ему при оценке времени Сначала мы будем исследовать именно эту ситуацию.

Если амплитуды являются независимыми случайными переменными, нужно найти их максимально правдоподобные значения и подставить в (8.35). Правую часть этого уравнения можно минимизировать для каждой амплитуды отдельно методом, использованным в разд. 1. При этом окажется, что оценка каждой амплитуды дается формулой вида (8.9), где заменяется на Значение времени в этом уравнении есть оценка, которую еще нужно определить. Минимальное значение (8.35) выразится формулой

Опять первый член и знаменатель второго по причинам, указанным в разд. 1, не зависят от времени х, и максимально правдоподобную оценку времени х находим как значение, минимизирующее величину

где функция решение интегрального уравнения (8.12); оно дается формулой (8.14). Мы опять использовали то обстоятельство, что каждый из интервалов наблюдения велик по сравнению с длительностью сигнала.

Обращаясь к разд. 1, видим, что функция должна быть образована следующим образом: входные напряжения пропускаются через фильтр, согласованный с сигналом при достаточно большой задержке импульсная характеристика этого фильтра дается соотношением (8.15). Напряжение с выхода этого фильтра подается на квадратичный детектор. Выходное напряжение детектора за первый интервал наблюдения задерживается на время, равное периоду повторения, и прибавляется к напряжению второго интервала; эта сумма таким же способом задерживается и прибавляется к выходному напряжению детектора в третьем интервале и т. д. Окончательная сумма выходных напряжений рассматривается в течение последнего интервала наблюдения. Значение функции дается окончательной суммой в момент Время измеренное от начала последнего промежутка, в котором сумма достигает наибольшего значения, позволяет найти оценку х времени х в соответствии с соотношением Если бы шума не было, пики отдельных членов суммы в (8.37) совпадали бы и функция достигала бы максимума при равном истинному значению времени запаздывания. Шум вызывает смещение момента х, при котором получается максимум, и приводит к ошибке в оценке запаздывания сигнала

Для определения дисперсии этой оценки времени запаздывания в пределе, при большом отношении сигнал/шум.

будем поступать так же, как в разд. 2. Пусть

где — комплексная огибающая шума в интервале.

При этом найдем, что соотношение (8.22) для ошибки заменяется на

Так как шумовые напряжения в отдельных интервалах независимы одно от другого, члены суммы в (8.39) статистически независимы и дисперсия времени дается формулой

Члены в числителе и знаменателе этой формулы даются формулами (8.29) и (8.30), в которых А заменено на для члена. Отсюда легко получить результат

Дисперсия оценки таким образом, является функцией полной энергии, возвратившейся от цели. Как делится энергия Между отдельными сигналами, не имеет значения, если только отношение сигнал/шум для каждого сигнала достаточно велико.

Дисперсия, даваемая (8.41), всегда меньше или равна даваемой формулой (8.32), полученной для случая, когда наблюдатель усредняет оценок в каждом интервале наблюдения. Чтобы доказать это, используем неравенство Шварца (см. сноску стр. 32)

при При этом получаем

так что

Дисперсии при обоих методах равны, когда все сигналы имеют одинаковую амплитуду.

Если все амплитуды эхо-сигналов равны некоторой неизвестной величине А, правая часть (8.2.5) принимает другую форму, а именно

где К не зависит от амплитуды А и времени х. Приравнивая производную по А нулю, решая уравнение относительно А

и подставляя в (8.43), получим

Следовательно, чтобы найти максимально правдоподобную оценку времени нужно максимизировать величину

где опять дается соотношением (8.14). Величина равна сумме задержанных напряжений с выхода линейного детектора, следующего за согласованным фильтром (8.15). Таким образом, когда известно, что амплитуды сигналов постоянны, квадратичный детектор, использовавшийся для быстро мерцающих эхо-сигналов, заменяется линейным. Вообще, если применяется детектор с характеристикой в виде параболы степени оценка времени дается значением для которого достигает максимума определяемая формулой

В пределе, при большом отношении сигнал/шум, можно опустить члены, содержащие степени амплитуды шума выше первой. При этом найдем

Эта функция достигает максимума при при

Ошибка в оценке при этом дается выражением

а ее дисперсия — формулой

Это получается, если использовать (8.29), (8.30) и соотношение

Дисперсию оценки, получающейся в случае, когда применяется линейный детектор, как в (8.45), найдем, полагая

Используя неравенство Шварца (8.42) при можно показать, что дисперсия в (8.47) наименьшая при т. е. когда используется квадратичный детектор. Если все амплитуды равны, дисперсия оказывается независимой от показателя степени так что при больших отношениях сигнал/шум не играет роли, какой детектор применяется. Однако наше рассуждение показало, что линейный детектор несколько лучше других детекторов, когда

отношение сигнал/шум не очень велико для того, чтобы (8.47) было хорошей апроксимацией. Но если наблюдатель не уверен, что амплитуды сигналов будут равны, рекомендуется использовать квадратичный детектор, так как он дает наименьшую дисперсию ошибки в случае неравных амплитуд сигнала.

Если амплитуды всех сигналов точно известны и независимые фазы описываются равномерным распределением вероятностей, оптимальным детектором для оценки времени х оказывается детектор, найденный в разд. 1 гл. 6. В этом случае система образует величину

Анализ, при помощи которого получается этот результат, очень схож с выкладками разд. 1 гл. 6. Наблюдатель определяет значение х, для которого написанная выше сумма максимальна. Однако, так как обычно амплитуды неизвестны, этот тип детектора не может быть использован. Но если амплитуды сигналов равны и достаточно велики, так что величины оказываются на линейной части кривой фиг. 6.1, детектор в согласии с соотношением (8.45) приблизительно линеен.

Указанные здесь процедуры для оценки времени х предусматривают задержку напряжения с выхода детектора на время, равное интервалу между излучаемыми импульсами, и добавление его к напряжению следующего интервала с накапливанием таким способом суммы выходных напряжений в последующих интервалах. Линии задержки, необходимые для такой системы, были бы довольно сложными. Чтобы давать полезный результат, они должны быть чрезвычайно точно сконструированы. Существующие системы наблюдения выходного напряжения в каждом интервале на экране осциллоскопа приближенно выполняют простое усреднение оценок, обсуждавшееся в начале этого раздела.