3. Обнаружение в окрашенном шуме

(а) Задача обнаружения

Рассмотрим опять задачу выбора одной из двух гипотез: входное напряжение содержит только шум: входное напряжение содержит известный сигнал и шум: Входное напряжение наблюдается в интервале в конце которого должно быть принято решение. Шум гауссов и имеет нулевое среднее значение, однако не предполагается, что он белый. Вместо этого мы допустим, что шум имеет некоторую функцию автоковариации ширина которой может быть сравнима с длительностью сигнала или интервала наблюдения. Такой шум иногда называют "окрашенным" в противоположность белому шуму, имеющему постоянный спектр и функция автоковариации которого является дельта-функцией Дирака.

Решение должно быть принято на основе коэффициента правдоподобия — отношения двух функций плотности вероятности серии измерений входного напряжения Можко было, как и в разд. 1, использовать значения входного напряжения в моментов времени расположенных равномерно в интервале наблюдения. Однако эти значения теперь коррелированы и их функция распределения (2.34) такова, что осуществить переход к пределу при большом труднее, чем в случае белого шума. Проще найти систему значений которые некоррелированы и могут быть найдены при помощи линейных операций над входным напряжением Эти

величины являются коэффициентами в разложении входного напряжения в ряд Фурье особого рода.

Входное напряжение может быть записано в виде

где система действительных функций ортонормальна в интервале Это означает, что функции удовлетворяют условиям

для всех значений индексов. Отсюда следует, что коэффициенты можно вычислить по формуле

Таким образом, коэффициенты линейно связаны с входным напряжением Любой из них, например можно получить пропусканием входного сигнала через фильтр, согласованный с сигналом . В соответствии с изложенным в разд. 2 выходное напряжение такого согласованного фильтра в конце интервала наблюдения будет давать значение для данного входного напряжения. Разложение, подобное (4.23), применялось в разд. 2 гл. 2 для описания реализации шума. При этом в качестве ортонормальных функций использовались функции для всех целых положительных значений и функция Но, как мы увидим, иногда удобнее использовать другую систему ортонормальных функций.

Выбор между двумя гипотезами будет производиться на основе значений конечного числа коэффициентов ниже мы будем предполагать, что увеличивается беспредельно. Как было указано выше, анализ упрощается, если коэффициенты являются некоррелированными

случайными переменными. В соответствии с (4.25) их ковариации даются формулой

в которой автоковариация шума. Наша цель будет достигнута, если мы сможем найти систему таких ортонормальных функций при которых это выражение равно нулю, когда различны. Это будет иметь место, если каждая функция удовлетворяет уравнению

в котором постоянные должны быть еще определены. Подставляя (4.27) в формулу для автоковариации (4.26) и используя условие ортонормальности (4.24), найдем

Это значит, что коэффициенты некоррелированы, а их дисперсии равны числам Нужно доказать, конечно, что решения уравнения (4.27), которое называется однородным интегральным уравнением, удовлетворяют условию ортонормальности (4.24). Это будет сделано в следующем подразделе, где мы рассмотрим некоторые свойства интегральных уравнений.

(б) Интегральные уравнения

В однородном интегральном уравнении

функция двух переменных известна как ядро. В случае уравнения, к которому мы пришли выше, ядро равно где функция автоковариации шума. Запись

ядра в форме является несколько более общей. Будем предполагать, что ядро обладает следующим свойством симметрии:

где звездочкой отмечена комплексно-сопряженная величина; при этом могут быть комплексными. Большинство интегральных уравнений, встречающихся в теории обнаружения сигналов, может быть приведено к такому виду, что их ядро будет удовлетворять условию (4.30). Такое ядро называется эрмитовым. Если оно еще и действительно, его просто называют симметричным. Ядро уравнения (4.27) является симметричным.

Решение уравнения (4.29) существует только для определенных значений параметра Эти значения X называются собственными значениями, соответствующие решения — собственными или характеристическими функциями. Уравнение для собственной функции имеет вид

Теория таких интегральных уравнений изложена в книгах Ловитта [1], Куранта и Гильберта [2], Гильберта [12] и Морза и Фешбаха [13]. Она подобна теории линейных операторов, действующих на векторы в так называемом гильбертовом пространстве бесконечного числа измерений. Эти векторы соответствуют функциям, определенным на конечном интервале Умножение функции на и интегрирование в интервале в результате чего образуется новая функция, является особым типом линейной операции. Линейные операторы вращают и растягивают векторы, на которые они действуют. При этом преобразованная сумма двух векторов равна сумме преобразованных векторов и т. д. Интегралы, подобные

соответствуют скалярному произведению векторов, представляющих функции

Докажем сначала, что собственные функции уравнения (4.29) обладают свойством ортонормальности, подобным ортоиормальным свойствам собственных функций уравнения (4.24). Для этого умножим обе части уравнения (4.31) на и проинтегрируем:

Записав уравнение, комплексно-сопряженное с (4.31), для собственной функции вследствие свойства эрмитова ядра (4.30), получим

Если умножить обе части этого уравнения на и проинтегрировать, найдем

Вычитая из предыдущего уравнения, получим

В большинстве задач собственные значения различны. При этом для мы должны иметь

С другой стороны, для интеграл положителен, так что Поэтому все собственные значения действительны. Из уравнения (4.31) видно, что собственные функции определены с точностью до произвольного постоянного множителя, который может быть выбран так, чтобы интеграл от квадрата модуля функции был равен единице. Тогда для всех индексов

и собственные функции будут образовывать ортонормальную систему функций. (Заметим, что, если существует несколько собственных функций с общим собственным значением X, говорят, что "имеет место вырождение". Можно составить такие линейные комбинации этих вырожденных собственных функций, которые будут взаимно ортонормальны. По доказанному выше они ортонормальны к функциям для других собственных значений. Нам эта добавочная теория вырожденных систем собственных функций, излагаемая в книгах по теории линейных операторов, не понадобится, и в дальнейшем будем предполагать, что все собственные функции обладают различными собственными значениями.) В векторно-пространственной аналогии собственные функции соответствуют взаимно ортогональной системе векторов единичной длины.

Ниже мы будем предполагать, что ядро положительно-определенно. Это означает, что для любой функции не равной тождественно нулю,

Ядро в подразделе (а) обладает этим свойством. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующее статистическое среднее:

Это среднее должно быть положительным, так как является средним значением величины, которая всегда положительна. Поскольку может быть любой комплексной функцией, положительная определенность ядра доказана.

Вследствие того, что ядро положительно-определенно, его собственные значения всегда положительны, так как из уравнений (4.31) и (4.33) следует

Линейный оператор изменяет длину ортогональных векторов в соответствии с собственными функциями не поворачивая их. Положительно-определенный линейный оператор не изменяет направления ни одного из этих базовых ортогональных векторов на обратное.

Если ядро действительно и симметрично, собственные функции должны быть также действительными. Это можно показать, взяв уравнение, комплексно-сопряженное с (4.31). Так как обе функции собственные функции ядра не вырожденные по предположению, они должны быть идентичными. Обозначим собственные значения индексами в порядке убывания: и предположим, что ядро является действительной функцией Характер собственных функций можно исследовать следующим грубым способом. Ядро старается сгладить всякую функцию, на которую оно действует, до некоторой степени подобно импульсной характеристике фильтра, в чем можно убедиться, обратившись к формуле (1.8). Если входным сигналом фильтра является собственная функция выходной сигнал имеет такую же форму. Известно, что линейные фильтры не искажают лишь синусоидальные сигналы. Поэтому можно ожидать, что собственные функции имеют осцилляционный характер, хотя в отличие от случая реального линейного фильтра допускаются только определенные дискретные "частоты" колебания. Если функция колоколообразная, эквивалентным фильтром будет фильтр типа фильтра низких частот. Входцые сигналы высокой "частоты" будут в нем ослабляться больше, чем сигналы низкой частоты. Поэтому можно ожидать, что собственные функции с малыми собственными значениями X имеют большее число осцилляций в интервале чем функции с ббльшими собственными значениями. В разд. 4, где проведено вычисление собственных функций для простого ядра, показано, что они действительно имеют осцилляционный характер.

Так как собственные функции составляют ортонормальную систему, их можно использовать для преобразования Фурье функции с хорошим поведением в интервале Такую функцию можно записать в виде

Коэффициенты этого ряда вследствие соотношения ортонормальности (4.32) даются формулой

В качестве примера применения таких разложений рассмотрим так называемое интегральное уравнение Фредгольма первого рода

Задана функция требуется найти решение уравнения Если обе функции представить рядами Фурье типа (4.34) с коэффициентами и эти ряды подставить в уравнение, получим

так что Поэтому решение уравнения (4.36) можно по крайней мере формально, записать в виде

В связи с этим заметим, что само ядро имеет такое разложение Фурье:

Это можно доказать, подставив (4.38) в интегральное уравнение (4.31) и используя (4.32).

Можно также отметить, что для любых двух функций имеющих разложение Фурье вида (4.34) с

коэффициентами соответственно, выполняется следующее соотношение:

Коэффициенты соответствуют проекциям вектора на ортогональные единичные векторы в гильбертовом пространстве. При этом (4.39) является формулой для скалярного произведения двух векторов в этом пространстве.

Заманчиво записать решение (4.37) интегрального уравнения (4.36) в виде формулы

обладающей определенной симметрией по отношению к рассматриваемому уравнению. Новое ядро дается соотношением

Мы можем назвать его обращенным по отношению Оно является решением интегрального уравнения

так как, чтобы разложение Фурье вида (4.34) было возможно, должно выполняться соотношение

Для ядер определенного типа функция содержит дельта-функцию и ее производные вплоть до некоторого высокого порядка. Для других ядер представляется сомнительным, может ли эта функция быть выражена даже при

помощи таких "ненормальных" функций. Формула (4.40) полезна, однако, для указания формального решения уравнения (4.36), которое должно линейно зависеть от данной функции s(t).

(в) Получение статистики испытаний

Если развитый в предыдущем разделе метод применить к интегральному уравнению (4.27), ядро которого есть функция автоковариации шума, сигнал на входе системы окажется представленным рядом Фурье (4 23) Собственные функции интегрального уравнения (4.27), как было показано, образуют ортонормальную систему, причем коэффициенты разложения могут быть вычислены по формуле (4.25). Эти коэффициенты в соответствии с (4 28) некоррелированы, и их дисперсии равны соответствующим собственным значениям интегрального уравнения (4.27). Так как ядро положительно-определенно, все собственные значения и дисперсии положительны. Предположим, что индексы собственным значениям приписаны таким образом, что и все собственные значения различны. Вследствие того что ядро действительно и симметрично, все собственные функции действительны.

Возвращаясь к задаче оптимального выбора из двух гипотез мы будем основывать этот выбор на значениях первых коэффициентов разложения (4.23) данного входного сигнала. В подразделе (а) мы Отмечали, что эти значений можно получить при помощи системы параллельных фильтров, каждый из которых согласован с одной из функций путем пропускания через них входного сигнала. Теперь необходимо определить функции распределения вероятностей этих величин при каждой из двух гипотез. Так как коэффициенты получены при помощи линейных операций над гауссовым стохастическим процессом, они должны быть гауссовыми случайными переменными. Уже было показано, что они некоррелированы. Их дисперсии равны

Беря математическое ожидание от обеих частей уравнения (4.25) при гипотезе когда найдем, что среднее значение С другой стороны, при гипотезе когда

где коэффициенты в разложении Фурье сигнала. Пользуясь этими результатами, можно записать функции совместного распределения коэффициентов в виде

В соответствии с выводами гл. 3 выбор между двумя гипотезами должен производиться путем сравнения коэффициента правдоподобия

с некоторым фиксированным критическим значением которое в свою очередь зависит от критерия успеха наблюдателя. Наблюдатель заявляет, что "сигнала нет", если или, что то же самое, если

В -мерном декартовом пространстве с координатами поверхность решения есть плоскость

Чем больше тем больше используется информации о входном сигнале Поэтому представляется заманчивым иметь решение, принятое на основе предельной величины

если она существует и может быть просто получена. В соответствии с изложенным в подразделе (б) решение интегрального уравнения

может быть записано в виде

так что его коэффициенты Фурье равны Обращаясь к формуле (4.39), мы видим, что статистика может быть записана в виде

С помощью рассуждений, подобных приведенным в разд. 2, найдем, что величина может быть получена путем пропускания входного сигнала через фильтр, согласованный с сигналом т. е. через фильтр с импульсной характеристикой такой, что

где решение интегрального уравнения (4.48). Выходное напряжение фильтра в момент времени и есть статистика О. Она сравнивается с критическим уровнем Если принимается решение о том, что сигнал присутствует (принятие гипотезы Вопросы, связанные с решением уравнения (4.48), будут рассмотрены в следующем разделе.

Вместо использования коэффициентов разложения Фурье (4.23) входного сигнала мы могли бы выбрать ряд значений входного сигнала в равноотстоящих в интервале наблюдения моментов времени Функция совместного распределения этих величин выражалась бы формулой (2.34). Среднее значение при гипотезе равно нулю, а при величина Коэффициент правдоподобия опять определился бы как частное двух функций плотности вероятности. В результате мы нашли бы, что принятие решения должно основываться на статистике испытаний

где — элементы матрицы, обратной автоковариационной матрице — (так же, как в разд. 4 гл. 2).

Величины

являются корнями системы линейных уравнений

В пределе, при большом это соотношение превращается в интегральное уравнение (4.48), а статистика в О формулы (4.49).

(г) Вероятности ложной тревоги и обнаружения

Для оценки системы обнаружения, основанной на статистике мы можем вычислить вероятности ложной тревоги и обнаружения, которые были определены в (4.6) и (4.7). Как и раньше, есть случайная переменная с гауссовым распределением. Ее среднее значение 5 равно нулю при гипотезе При гипотезе

(Основания для того, чтобы обозначать это среднее значение через будут приведены ниже.) Дисперсия статистики О при обеих гипотезах равна

При этом мы использовали интегральное уравнение (4.48). Функции распределения имеют вид

а вероятности ложной тревоги и обнаружения выразятся соответственно формулами

Мы можем снова воспользоваться графиками фиг. 4.1 и 4.2 для вероятностей обнаружения, используя для новое определение (4.51). В случае белого шума, согласно уравнению (2.41), ядро уравнения (4.48) имеет вид

и решением этого уравнения будет При этом формула (4.51; дает где

как и в (4.13). Поэтому мы можем назвать отношением - сигнал/шум для задачи обнаружения в более общем случае, когда шум не белый, при условии, что определено формулой

Пусть на входе фильтра с импульсной характеристикой в момент появляется сигнал и пусть сигнал на выходе будет а шум — Их значения даются формулами (4.19) и (4.20). Отношение сигнал/шум в конце интервала наблюдения будет

или

Можно показать, что импульсная характеристика для которой отношение сигнал/шум максимально, дается формулой (4.50). Это — одий из результатов Дворка [8], который вывел импульсную характеристику фильтра, необходимую для того, чтобы получить максимум отношения пика сигнала к шуму при импульсном сигнале и окрашенном шуме. Коэффициент передачи фильтра Дворка пропорционален где спектр сигнала [формула (1.2)], спектр мощности шума. Если интервал наблюдения велик по сравнению с длительностью решения уравнения (4.48), мы можем решить это уравнение при помощи преобразования Фурье. При этом получаем

Коэффициент передачи согласованного фильтра (4.50) поэтому равен

что согласуется с результатом Дворка.

Искусственный прием описания шума при помощи подходящей системы ортонормальных функций был применен Кацем и Сигертом [5] при анализе напряжения на выходе квадратичного детектора, на вход которого подан шум (см. гл. 11). Этот прием был также использован в приведенной здесь форме Каруненом [6] и Гренандером при изучении стохастических процессов. Кроме работы Дворка [8], следует упомянуть работы Заде и Рагаззини [10, 11], в которых применено подобное же интегральное уравнение и развиты общие методы его решения. Строгий вывод статистики испытаний для рассмотренной задачи обнаружения дан Ридом, Келли и Рутом [17].

Для дальнейших применений желательно иметь простое выражение для показателя функции совместного распределения формулы (4.44) при больших В соответствии с (4.39) он принимает вид

где решение интегрального уравнения

Используя соображения конца подраздела можно формально записать решение в виде

где и) удовлетворяет интегральному уравнению

обращенное ядро Когда число коэффициентов используемых для принятия решения, велико, их функции совместного распределения вероятностей при гипотезах грубо даются выражениями

где нормирующий множитель, зависящий от Результаты этого раздела могли бы быть получены путем вычисления коэффициента правдоподобия как отношения этих функций распределения. Этот более прямой метод будет применен в последующем. Нормирующий множитель при вычислении коэффициента правдоподобия сокращается и переход к пределу производится непосредственно. Результаты, полученные таким формальным способом, всегда могут быть более строго обоснованы с помощью метода разложения по собственным функциям, который применялся выше, но это достигается ценой более громоздких и сложных вычислений.