ПРИЛОЖЕНИЕ А. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В этом приложении мы приведем некоторые полезные формулы и опишем методику работы с преобразованиями Фурье и Лапласа. Для полного изучения этого вопроса необходимо обратиться к учебникам, некоторые из которых перечислены в прилагаемой литературе. В настоящей работе будут использованы только простые аспекты предмета. В частности, мы не будем пытаться дать строгие условия, при которых справедливы приводимые формулы. Мы предполагаем, что все встречающиеся функции ведут себя достаточно хорошо для того, чтобы различные интегралы существовали.

Если задана функция достаточно быстро стремящаяся к нулю при или мы можем определить ее преобразование Фурье формулой

Из преобразования первоначальная функция может быть восстановлена обратным преобразованием Фурье

Интеграл Фурье есть развитие понятия о рядах Фурье, используемых при анализе периодических функций. При увеличении периода функции линии ее спектра Фурье, отстоящие друг от друга на сближаются, приближаясь к "непрерывному спектру" в и Для более точного описания этого перехода от рядов Фурье к интегралу Фурье читателю следует обратиться к учебнику (например, [2]).

Фиг. А.1. Контур интегрирования для формулы

Например, если имеем

Чтобы сделать в этом случае обратное преобразование, нужно вычислить интеграл

Этот интеграл может быть вычислен методом контурного интегрирования [1, гл. 6]. Дадим схему вычислений. Для нужно рассмотреть контурный интеграл

где контуром С является полукруг радиуса с центром в начале координат, лежащий в верхней полуплоскости и ограниченный частью оси х от до (фиг. А.1).

В соответствии с теорией вычетов значение этого интеграла I равно сумме вычетов подынтегрального выражения во всех полюсах, лежащих внутри контура, умноженной на

В рассматриваемой задаче имеется только один полюс, а именно в точке Вычет в этом полюсе равен

Следовательно, значение контурного интеграла I равно Разбивая интеграл на две части, по оси х и по полукругу, и замечая, что на полукруге находим

Пусть теперь радиус безгранично возрастает. Первый интеграл стремится к интегралу который мы ищем. Мы должны только показать, что второй интеграл при стремится к нулю. Для его абсолютного значения находим

Здесь мы использовали то обстоятельство, что абсолютное значение интеграла меньше или равно интегралу от абсолютного значения подынтегрального выражения. Знаменатель в написанном выше выражении больше или равен а коэффициент так как Таким образом, находим, что

Следовательно, беря радиус достаточно большим при можно сделать член сколь угодно малым. В результате получаем

Для контур должен быть взят в виде большого полукруга в нижней половине плоскости z, замыкающегося

той же частью оси х, что и раньше. При этом используемый полюс будет лежать в точке Вычет в нем равен

Минус появляется вследствие того, что контур теперь обходится по часовой стрелке. Окончательно получаем Заметим, что контур не обязательно должен замыкаться полукругом.

Фиг. А.2. Контур интегрирования для формулы

Может быть использована любая кривая при условии, что ее минимальное расстояние от начала координат безгранично возрастает при заключительном предельном переходе. Полукруг взят лишь потому, что с ним проще всего обращаться.

Формулой (1.6) мы представили преобразование Фурье, или спектр прямоугольного импульса. Поучительно проделать обратное преобразование этого спектра. При этом нужно вычислить интеграл

Для мы опять можем взять контур в нижней половине плоскости комплексной переменной (фиг. А.2), проводя большой полукруг радиуса Контур С состоит из участка действительной оси с вырезом вокруг начала координат, обходимом по малой полуокружности

радиуса ниже начала координат, и большого полукруга в нижней полуплоскости. При этом мы имеем

вследствие того, что подынтегральное выражение не имеет особенностей внутри контура. На полуокружности -у, когда ее радиус становится очень малым, получаем

На большой полуокружности с другой стороны, при

При этом мы использовали то обстоятельство, что для имеем Обозначив главное значение интеграла через получаем

Для мы замыкаем контур большой полуокружности в верхней полуплоскости. При этом подынтегральное

выражение имеет полюс внутри С, так что

Рассуждая так же, как и выше, можно показать, что интеграл по большой полуокружности стремится к нулю при В результате получаем

Аналогично второй член в дает

Вычитая эти результаты, получаем

Так как подынтегральное выражение не имеет особенностей в интервале интегрирования, главное значение интеграла совпадает со значением обычного Риманова интеграла; в результате получается формула (11.5).

Использованный нами для вычисления интегралов и метод контурного интегрирования показывает, что вообще, если функция обращается в нуль при ее преобразование не должно иметь особенностей в нижней комплексной полуплоскости т. е. при Коэффициент передачи линейных фильтров, рассматриваемых в разд. 2 гл. 1, обладает этим свойством.

Операциям с преобразованием Фурье очень помогает формула

где дельта-функция Дирака, определяемая формулой

в которой произвольная функция, непрерывная в точке . Видно, что формула совместима с формулами и

В качестве примера использования этой формулы найдем преобразование Фурье свертки функций определяемой формулой

Применив формулу преобразования для каждой из функций и находим

Таким образом, мы видим, что преобразование Фурье свертки двух функций является произведением преобразований этих функций

Как частный случай этого результата имеем формулу Парсеваля

где как так и могут быть комплексными функциями.

Мы можем использовать приведенные выше соотношения для решения простого интегрального уравнения

относительно неизвестной функции Пусть преобразованиями Фурье будут соответственно. Тогда из получаем

так что решением интегрального уравнения будет

Другой полезный результат состоит в том, что преобразование Фурье производной функции есть умноженное на преобразование самой

при условии, что производные и их преобразования Фурье существуют (это не имеет места для примеров, рассмотренных выше). Для доказательства формулу дифференцируют раз по и делают обратное преобразование Фурье.

Для функций равных нулю при часто удобно использовать преобразование Лапласа, определяемое формулой

Оно связано с преобразованием Фурье соотношением

Обратное преобразование Лапласа дается формулой

в которой контуром интегрирования С является линия, параллельная мнимой оси плоскости комплексной переменной правее всех особенностей функции

Плоскость для преобразования Лапласа есть просто плоскость (о для преобразования Фурье, повернутая на четверть оборота влево. Техника контурного интегрирования, рассматривавшаяся выше, может быть с таким же успехом использована и для вычисления обратного преобразования Лапласа. Часто бывает удобнее находить обратное преобразование по таблицам. Обширные таблицы такого рода имеются у Эрдели и др. 18]. Например, преобразование Лапласа функции есть

Для преобразования Лапласа мы имеем основную формулу свертки

которая может быть доказана с помощью определения и изменения порядка кнтегрирования

Эта формула полезна при применении преобразования Лапласа к решению задач о переходных процессах в электрических цепях, где представляет собой импульсную характеристику цепи, сигнал, поданный в цепь и начинающийся при (см. разд. 2 гл. 1). С другой стороны, если даны дифференциальные уравнения пассивной линейной цепи,

они часто могут быть легко решены с помощью основной формулы

Эта формула позволяет преобразовать систему дифференциальных уравнений в систему алгебраических уравнений для преобразований Лапласа токов или напряжений в цепи. Подробности можно найти в любой книге по теории преобразования Лапласа или по теории электрических переходных процессов.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)