2. Согласованный фильтр

В предыдущем разделе мы нашли, что принятие решения о наличии сигнала в белом гауссовом шуме должно быть основано на рассмотрении величины

где напряжение на входе в интервале наблюдения Был бы удобно создавать статистику О при помощи фильтрации входного сигнала. Так как О — результат линейной операции над такой фильтр должен быть линейным.

Линейным фильтром, пригодным для этой цели, является фильтр с импульсной характеристикой

Если на входе такого фильтра имеется напряжение в соответствии с уравнением (1.7) на выходе будет получаться напряжение

В момент времени напряжение сигнала на выходе

Таким образом, если входной сигнал прошел через линейный фильтр с импульсной характеристикой (4.16), выходное напряжение в конце интервала наблюдения есть нужная статистика О. Это напряжение сравнивается с некоторым фиксированным "критическим уровнем" если принимается решение о присутствии сигнала. Говорят, что фильтр (4.16) согласован с сигналом Понятие согласованного фильтра было предложено Норсом [3] и применено к рассмотренной здесь задаче обнаружения сигнала Петерсоном, Бирдзоллом и Фоксом [15].

Фиг. 4.3. Согласованный фильтр для прямоугольного импульса.

Пусть сигнал представляет собой одиночный прямоугольный импульс длительности с передним фронтом в момент Если интервал наблюдения и импульсная характеристика согласованного фильтра равна

Напряжение на выходе фильтра, когда на его входе имеется только равно

Это выходное напряжение изображено на фиг. 4.3. Заметим, что напряжение на выходе, обусловленное сигналом, достигает максимума при т. е. в момент, когда принимается решение. Очевидно, в этом случае нет основания делать длину интервала наблюдения больше

Важным свойством согласованного фильтра является то, что он дает максимальное отношение сигнал/шум при для сигнала и белого шума поданных на вход [4] при условии, что для Для фильтра с

импульсной характеристикой сигнал на выходе в момент времени равен

а шум на выходе как функция момента времени

Утверждается, что максимально, если импульсная характеристика выражается формулой (4.16). Дисперсия шума на выходе дается формулой

которая может быть получена таким же способом, как формула (4.9). Теперь, используя неравенство Шварца (см. примечание на стр. 32), из формулы (4.19) получим

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда Поэтому

так как для Следовательно, отношение сигнал/шум в конце интервала наблюдения будет всегда меньше если импульсная характеристика фильтра не удовлетворяет (4.16). Другое свойство, которое следует из неравенства Шварца, состоит в следующем. Если рассмотреть сигналы для которых

то окажется, что часть напряжения на выходе фильтра в момент обусловленная только сигналом, будет наибольшей для сигнала Эти два свойства оправдывают применение термина "согласованный" для фильтра, импульсная характеристика которого задана формулой (4.16).

Если сигнал заключен в интервале наблюдения, коэффициент передачи согласованного фильтра пропорционален величине, комплексно-сопряженной спектру сигнала:

где

есть спектр сигнала [формула (1.2)]. Множитель соответствует задержке отклика фильтра на время

Во многих случаях сигнал к моменту окончания наблюдения не исчезает. Рассмотрим экспоненциальный импульс, приходящий в момент Если входное напряжение наблюдается в интервале а решение о присутствии сигнала принимается в момент согласованный фильтр должен иметь импульсную характеристику

Отношение сигнал/шум при равно где

С увеличением интервала наблюдения при заданной вероятности ложной тревоги увеличивается а, а следовательно, и вероятность обнаружения Однако, чтобы использовать это обстоятельство, наблюдатель должен затратить больше времени на принятие решения.

Для конструирования согласованного фильтра можно использовать методы синтеза фильтра с предписанной импульсной характеристикой, рассмотренные в разд. 6 гл. 1. Чтобы получить максимальное отношение сигнал/шум в момент для входного напряжения, состоящего из данного сигнала и белого шума, критерий среднеквадратичной ошибки (1.52) нужно использовать с постоянной весовой функцией. На фиг. 1.8 показана апроксимация, полученная этим способом для импульсной характеристики фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом.