2. Вероятности ложной тревоги и обнаружения при многократных наблюдениях

В системе обнаружения, предложенной в предыдущем разделе, входной сигнал пропускается через фильтр, согласованный с сигналом являющимся решением интегрального уравнения (6.4). Напряжение с выхода этого фильтра прикладывается к квадратичному детектору; значения выходного напряжения в конце каждого интервала наблюдения запоминаются и суммируются. Таким путем система образует величину

— комплексная огибающая входного сигнала в интервале наблюдения длиной Чтобы решить, присутствует ли сигнал, сумма выходных напряжений детектора сравнивается с некоторым уровнем Теперь мы должны вычислить вероятности ложной тревоги и обнаружения:

2М компонент комплексных чисел являются независимыми гауссовыми случайными переменными. Их независимость для различных значений следует из того, что

интервалы наблюдения взяты достаточно удаленными друг от друга и корреляция между шумовыми напряжениями в каком-нибудь одном и в остальных интервалах пренебрежимо мала. При гипотезе (сигнала нет) среднее значение этих переменных равно нулю: При гипотезе [присутствует серия сигналов (6.1)] среднее значение огибающей входного сигнала для интервала равно

где амплитуда и фаза сигнала. Отсюда получаем

где величина дается формулой (6.5). Ковариации при любой из гипотез получаются таким же способом. Как в гл. 5 [формула (5.43)]:

Плотность вероятности совместного распределения переменных может быть сразу написана при использовании этих результатов. Статистика распределение которой ищется, равна сумме квадратов этих независимых гауссовых переменных.

Удобный метод нахождения функции плотности вероятностей независимых случайных переменных заключается в использовании так называемых характеристических функций. Характеристическая функция случайной переменной есть преобразование Фурье функции плотности вероятности

для всех значений z, для которых интеграл существует. Из определения функции плотности вероятности следует

Разлагая в степенной ряд и интегрируя почленно, находим

при условии, что этот ряд сходится. Коэффициент при есть момент распределения х. По этой причине функция часто называется "моментообразующей" функцией х. Для некоторых распределений, например

разложение типа (6.17) не может быть сделано, так как моменты выше определенного порядка (здесь выше первого) не существуют.

Чтобы найти функцию распределения суммы случайных переменных, найдем сначала характеристическую функцию этой суммы. Если переменные независимы и их характеристические функции равны составляем произведение

Рассматривая кратный интеграл в правой части уравнения, видим, что он представляет собой характеристическую функцию суммы переменных, т. е.

Плотность вероятности суммы может быть найдена из этой формулы при помощи обратного преобразования Фурье

Обратное преобразование часто можно найти в таблицах преобразований, например в таблицах Эрдели [9].

Функция плотности распределения суммы любых функций некоторого числа случайных переменных может быть найдена таким же способом. Характеристическая функция распределения функции случайной переменной х равна

так как для Например, характеристическая функция суммы квадратов конечного числа независимых случайных переменных равна произведению характеристических функций вида

Используем это обстоятельство для вычисления функции распределения статистики даваемой (6.13). Согласно формулам (6.17) и (6.18), функция распределения при гипотезе равна

Поэтому характеристическая функция

Подобное же выражение будет справедливо для если заменить на Характеристическая функция суммы получится как произведение выражений типа (6.21) для всех значений умноженное на

произведение других характеристических функций

где

пропорционально полной энергии сигнала принятого от цели. Из формулы (6.22) видно, что функция распределения суммы а следовательно, и вероятность обнаружения зависят от амплитуд сигналов только через посредство суммы их квадратов. Вероятность обнаружения не зависит от истинных значений фаз сигналов.

Чтобы найти обратное преобразование Фурье (6.22), используем таблицы Эрдели [9, т. 1, стр. 197, формула (18)]. Для функций распределения статистики при гипотезе получаем

где модифицированная функция Бесселя порядка (приведенная формула есть скорее преобразование Лапласа, а не Фурье). Так как может быть только положительным, первое может быть непосредственно превращено во второе; см. приложение А. При гипотезе величина и получим

если используем первый член разложения

для модифицированных функций Бесселя и положим

Когда сигнала нет, переменная представляется распределением с степенями свободы, так как она является суммой независимых гауссовых переменных с нулевым средним значением и единичной дисперсией. В конце разд. 3 гл. 3 мы получили функцию распределения (6.25) другим методом. Вероятность ложной тревоги для системы обнаружения, использующей квадратичный детектор, дается выражением

в котором мы использовали обозначение Пирсона [2] для неполной гамма-функции

После интегрирования по частям вероятность ложной тревоги получается в компактной форме

Эта формула приводит к слишком большим вычислениям, если велико. Однако для малых вероятностей ложной тревоги велико и в формуле (6.29) нужно брать только несколько членов

Маркум [4] предложил сумму, заключенную в скобках, апроксимировать выражением так что

Для больших значений можно использовать формулу Стирлинга для факториала [относительная ошибка при этом равна всего 0,7% для ]. Окончательно получаем приближенную формулу

Эта формула является достаточно точной для большинства задач при вероятности ложной тревоги где целое число от 1 до 12. Для можно пользоваться таблицами Пачареса [10].

В соответствии с формулой (6.24) вероятность обнаружения дается интегралом

где функции

суть обобщение -функции, определенной уравнением (5.51). Эти функции связаны формулой

Используя таблицы функций составленные Маркумом [5], и таблицы модифицированных функций Бесселя, можно вычислить вероятность обнаружения по формуле (6.31). Однако это требует большого труда, если очень велико. В следующем разделе мы выведем приближенные формулы, которые дадут возможность оценить вероятность обнаружения при больших значениях