4. Оценка времени прихода сигнала и несущей частоты

Если радиолокационная цель не неподвижна, как предполагалось выше, а движется к антенне или от нее, несущая частота 2 эхо-сигналов вследствие эффекта Допплера

отличается от — частоты излученного импульса. Разность частот дается формулой

где компонента скорости цели в направлении антенны радиолокатора, а с — скорость распространения электромагнитного излучения. Формула (8.48) достаточно точна, если Для цели, движущейся со скоростью и при несущей частоте частотный сдвиг равен , что составляет заметную часть ширины спектра в типичной для радиолокационного импульса. Для много больших скоростей, имеющихся у баллистических снарядов, допплеровский сдвиг даже больше ширины спектра импульса.

Когда эхо-сигнал испытывает допплеровский сдвиг, сравнимый с его полосой, отклик на него фильтра, согласованного с излученным импульсом, будет сильно ослаблен и сигнал может быть пропущен из-за шума. Только в случае, если скорость цели известна, фильтр приемника может быть правильно согласован с эхо-сигналом. С другой стороны, если величина допплеровского сдвига может быть измерена, наблюдатель может вычислить компоненту скорости цели в направлении своей радиолокационной антенны, получая ценную информацию для эффективного слежения за целью. Таким образом, появляется возможность измерения по оценке времени прихода эхо-сигнала х и частотного сдвига его несущей обеих величин — расстояния до цели и ее скорости. В этом разделе мы укажем, как это в принципе может быть сделано при использовании методов статистической теории оценок параметров.

Хотя предлагаемый метод непосредственно на практике непригоден, анализ дисперсии даваемой им ошибки позволяет понять, какова граница точности, достижимая в таких измерениях, и как она зависит от характеристик сигнала.

Сигнал, параметры которого должны оцениваться, имеет теперь вид

где А — амплитуда сигнала, его фаза, время прихода, — несущая частота передатчика и

изменение несущей частоты. Опять фаза равномерно распределенная случайная переменная, и мы будем предполагать, как и в разд. 1 и 3, что об амплитуде ничего не известно, за исключением того, что она положительна. Мы будем искать максимально правдоподобные оценки неизвестных параметров хотя оценки двух первых нужны только для того, чтобы оценить два последних. Эти параметры должны оцениваться по входному напряжению измеренному в интервале наблюдения который достаточно велик, чтобы содержать в себе весь сигнал, где бы ни ожидалось его появление. Шум снова гауссов с комплексной автоковариацией Далее мы будем считать, что ширина функции много больше длительности сигнала, так что фактически это белый шум. Рассуждения такого же типа, что и в разд. 1, показывают, что для того, чтобы найти максимально правдоподобную оценку, нужно минимизировать квадратичную форму

где комплексная огибающая входного напряжения, а — решение интегрального уравнения (8.6). Как и в разд. 1, мы определяем максимально правдоподобные оценки параметров даваемые выражениями вида (8.7) и (8.9), и подставляем их в (8.50). Получаем уравнение

которое нужно минимизировать по параметрам Первый член не зависит от этих параметров и его можно во внимание не принимать. Мы снова используем предположение,

что интервал наблюдения очень велик по сравнению с длительностью сигналов. Как и в разд. 1, можно исключить вспомогательную функцию введя функции являющиеся решениями интегрального уравнения

Используя преобразование Фурье, можно решить это уравнение и получить

где — узкополосный спектр шума, как в (8.13). Таким способом мы находим, что максимально правдоподобные оценки параметров это значения, максимизирующие, выражение

Знаменатель этого выражения можно написать в виде

Он не зависит от входного напряжения и действует только как весовая функция. Его роль заключается в том, чтобы сделать пиковое значение в отсутствие шума независящим от истинных значений параметров.

Чтобы определить максимально правдоподобные оценки сдвига частоты и времени х, строится большое число параллельных фильтров. Каждый фильтр согласован с сигналом для одного из набора значений параметра равномерно распределенных в интервале ожидаемых значений частотного сдвига. Ширина этого интервала ограничена

максимумом возможной скорости цели. Импульсные характеристики фильтров даются уравнениями вида (8.15). Задержка делается одинаковой для всех фильтров. За каждым фильтром следует квадратичный детектор, выходное напряжение которого взвешено в соответствии со значением знаменателя в (8.54). Входное напряжение проходит через параллельную комбинацию фильтров и детекторов, выходные напряжения которых наблюдаются в виде функций времени, которые, как видно из соотношений (8.15) — (8.18), соответствуют переменной Оценка частотного сдвига равна значению соответствующему фильтру, взвешенное напряжение с выхода детектора которого имеет наибольшее пиковое значение. Момент времени, когда этот пик возникает, дает оценку времени прихода х, согласно (8.18). Оценка частотного сдвига могла бы быть сделана с желаемой точностью при достаточно близко расположенных согласованных фильтрах, если бы в действительности шум не влиял на положение максимума функции (8.54) как для значений так и для значений Из-за шума может оказаться, что наибольший пик выходного напряжения получается при значении отличном от истинного значения частотного сдвига.

В дальнейшем мы для простоты будем предполагать, что шум белый. Другие предположения не дали бы почти ничего, кроме усложнения. При этом функция будет прямо пропорциональна так что фильтр, соответствующий частотному сдвигу будет согласован с сигналом с комплексной огибающей и несущей частотой Знаменатель (8.54) теперь не зависит от параметра и мы можем его отбросить. Максимально правдоподобные оценки параметров при этом равны значениям, которые максимизируют функцию

Эта функция равна напряжению в момент на выходе квадратичного фильтра, следующего за фильтром, согласованным с сигналом с задержкой

Предположим для целей анализа, что возможен такой большой набор параллельных фильтров и детекторов, что функция (8.55) может быть действительно определена как

непрерывная функция сдвига и времени Она может быть изображена поверхностью, если откладывать в направлении в направлении у, а в направлении Если бы шума не было, эта поверхность имела бы вершину в точке где и — истинные время прихода и сдвиг частоты соответственно. Но шум вызывает смещение этого пика, которое нельзя предсказать, внося ошибку в оценки времени х и частотного сдвига

В следующем разделе вычислены дисперсии и ковариации этих оценок в пределе, при большом отношении сигнал/шум. Результаты таковы:

где -спектральная плотность мощности шума, энергия сигнала:

Величины определены так же, как в разд. 5 гл.

Формулы получены в предположении, что среднее время сигнала и средняя девиация частоты Как указывалось в разд. 5 гл. 1, начала отсчетов шкал времени и частоты всегда могут быть выбраны так, что Мы сделали это здесь для сокращения. В противном случае можно заменить на есть среднеквадратичная длительность сигнального импульса, -среднеквадратичная ширина по частоте, среднее значение произведения длительности и частоты.

Если в сигнале частотной модуляции нет, равно нулю, и соотношения (8.56) сводятся к следующим равенствам:

Первое соотношение дает такой же результат для дисперсии оценки времени прихода эхо-сигнала от неподвижной цели, как (8.31). Когда частотной модуляции нет, оценки времени прихода сигнала и несущей частоты в пределе, при большом отношении сигнал/шум, статистически независимы. На дисперсию ошибки в оценке времени не влияют сведения о частотном сдвиге или о скорости цели при условии, что оценки сделаны так, как описано выше: с использованием большого числа параллельных фильтров, согласованных с сигналами с блиэко расположенными значениями Наш результат (8.58) показывает, что имеет мало смысла располагать эти значения частотного сдвига много ближе, чем так как, если они будут ближе, шум создаст неопределенность в том, на каком из фильтров получается максимальное продетектированное напряжение.

Для сигнала заданной формы увеличение полосы требует уменьшения среднеквадратичной длительности Поэтому дисперсия оценки времени прихода не может уменьшаться без одновременного увеличения неопределенности в измерении частотного сдвига пока не сделано существенных изменений в форме самого излучаемого импульса. Если рассматривать сигналы без частотной модуляции, то произведение может быть сделано большим при использовании сигналов, спектры которых для данной ширины полосы расположены по возможности в области высоких частот. Это

можно сделать при использовании импульсов с возможно более острыми углами, например прямоугольных импульсов. Такие сигналы будут давать наиболее точные оценки времени прихода и частотного сдвига. Однако, чтобы достичь этой увеличенной точности, должны применяться фильтры, надлежащим образом согласованные с сигналами.

Для больших отношений сигнал/шум оценки параметров имеют гауссово распределение, и нетрудно показать, что распределение, приводящее к дисперсиям (8.56), дается формулой

{См., например, выражение в приложении Б для функции распределения Гаусса при коррелированных переменных или соотношение (2.37).]

Обращаясь к (1.48), мы видим; что контуры постоянной плотности вероятности являются эллипсами, подобными определенному там "эллипсу неопределенности". Из фиг. 1.7 видно, что когда импульс модулирован по частоте ошибки в оценках времени х и сдвига коррелированы. Большие значения одной ошибки имеют тенденцию сопровождаться большими же значениями другой. При возрастании отношения сигнал/шум поверхность вблизи истинных значений принимает вид все более острого пика, но ее контуры равных высот остаются подобными эллипсу неопределенности.

Как указывалось раньше, гауссов импульс с комплексной огибающей

имеет эллипс неопределенности наибольшей возможной площади. Следовательно, гауссов импульс среди всех импульсов с одинаковой полной энергией дает наибольшие ошибки в оценке времени прихода сигнала и частотного сдвига. С другой стороны, нет предела тому, как мала может быть

сделана совместная дисперсия ошибок, так как площадь

эллипса неопределенности при соответствующем выборе формы сигнала может быть сделана как угодно малой.

Полученный здесь для функции совместного распределения ошибок в оценках времени х и сдвига результат представляет наилучшее, что наблюдатель может сделать, по крайней мере при больших отношениях сигнал/шум. Для меньших отношений сигнал/шум можно ожидать, что дисперсии ошибок будут больше, чем даваемые соотношениями (8.56) из-за возможности неправильного решения вопроса, который именно пик функции (8.55) представляет сигнал, так как теперь шум приводит к появлению большого числа пиков одного порядка величины. Конечно, так как максимально правдоподобная оценка только асимптотически эффективна, может существовать лучший способ оценки параметров при малых отношениях сигнал/шум. Но такого способа оценки до сих пор еще не предложено.

Так же как в разд. 3, эти результаты могут быть распространены и на случай, когда число наблюдаемых эхо-сигналов Если предполагается, что амплитуды эхо-сигналов независимые случайные переменные, о которых наблюдатель не имеет никаких полезных априорных сведений, анализ, подобный проведенному в разд. 3, показывает, что соответствующая величина формируется задержкой и суммированием взвешенных напряжений с выходов квадратичных детекторов, следующих за каждым из параллельных фильтров, согласованных с сигналами как в (8.37). Оценки параметров хита; являются снова координатами точки, в которой имеет наибольшее значение. Дисперсии ошибок оценок, даваемых такой системой, в случае белого шума будут даваться формулами (8.56) при замене на

полную энергию, принятую от цели. Анализ, приводящий к этому результату, подобен тому, который был применен при выводе (8.41). При проведении наблюдений на серии

интервалов должно быть учтено, что расстояние до цели и, следовательно, значение меняются из-за движения цели. Так как каждый из параллельных фильтров соответствует определенной скорости цели в направлении антенны, это изменение во времени может быть скомпенсировано соответствующим подбором времени, на которое задерживается выходное напряжение каждого детектора, чтобы при отсутствии шума пики каждого члена суммы точно совпадали с остальными.