Глава 3. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

1. Обнаружение сигналов и статистики

Напряжение на входных клеммах радиолокационного приемника или приемника связи вследствие хаотического теплового движения в окружающих предметах всегда флуктуирует случайным образом. Любые сигналы — эхо-сигналы от удаленной цели или сигналы связи, несущие информацию, добавляются к этому шумовому фону; если сила сигналов мала, их трудно отличить от шума. Задача наблюдателя — решить, присутствует ли сигнал некоторого определенного вида во входном напряжении, принятом в течение определенного промежутка времени. Какую бы процедуру он не использовал для принятия решения, всегда может случиться, что он ошибется, заявляя, что сигнал есть, когда его нет, и наоборот. Он ищет такой способ обработки напряжения на входе приемника, чтобы в серии наблюдений решение принималось с наибольшим возможным успехом. Его стратегия будет зависеть не только от природы сигналов, которые должны быть обнаружены, и характера искажающего их шума, но и от его определения понятия успеха.

Сначала будет рассмотрена задача обнаружения простейшего типа: если сигнал присутствует, он появляется в точно известное время и его форма и амплитуда известны во всех деталях. Напряжение на входе приемника наблюдается в течение некоторого интервала времени, который может содержать сигнал. Затем наблюдатель должен произвести выбор между двумя возможными ситуациями: сигнала нет и входное напряжение состоит только из одного шума, или же сигнал присутствует и Эти два утверждения называются гипотезами.

Наблюдатель должен вйбрать ту, которая, как он полагает, лучше описывает действительность. Решение неопределенно, так как форму шумового напряжения нельзя предсказать заранее. Самое большее, чем можно обладать, этостатистическим описанием шума как стохастического процесса. Задача обнаружения могла бы возникнуть таким путем: ежечасно должно выполняться определенное действие, если принимается сигнал команды В противном случае действие не производится. Если сигнал команды передается, это делается в фиксированный момент времени в течение часа, причем используется всегда один и тот же сигнал. Наблюдатель выполняет намеченное действие каждый раз, когда выбирает гипотезу Так как неправильное выполнение или невыполнение действия для него может обходиться дорого, необходим такой способ обработки напряжения который минимизирует потери из-за принятия неправильных решений.

Вследствие стохастической природы шума мы встречаемся здесь с задачей проверки статистических гипотез. Настоящая глава является введением в теорию проверки гипотез, основывающуюся на теории вероятностей. Приложение этой теории к вышеуказанной простой задаче обнаружения дается в следующей главе. Затем будут рассмотрены более сложные ситуации.

Теория проверки гипотез создана Нейманом и Пирсоном [1], которые предложили искать метод испытания, минимизирующий вероятность ошибки. Представление о цене и риске было введено Вальдом [3], которому принадлежит заслуга современного развития теории в духе теории игр. Многие из идей теории были применены к проблеме оптимального радиолокационного обнаружения Зигертом и другими в Лаборатории излучения во время второй мировой войны [7]. Позднее Вудворд и Девис [9] при исследовании задачи обнаружения сигналов использовали представление об обратной или условной вероятности. Анализ обнаружения сигналов методами теории статистических решений был развит Мидлтоном [12]. Проектированием приемников на основе понятия коэффициента правдоподобия занималась группа сотрудников Мичиганского университета [2]. В последние годы в свете теории статистических испытаний и решений рассмотрены многие проблемы обнаружения сигналов и измерения их параметров.

Занимаясь этим вопросом, читатель должен иметь в виду, что математика представляет собой лишь способ вывода. Сама по себе она ничего не говорит об объективном мире. Наука описывает наши наблюдения над природой в форме законов, теорий и гипотез, цель которых — охватить широкий круг явлений в возможно более простом виде. Математика используется для получения логических следствий из предложенной научной теории. Эти следствия проверяются экспериментом, чтобы определить, являются ли они также удовлетворительным описанием некоторых аспектов природы. Если теория терпит неудачу при описании экспериментов, ее справедливость ставится под сомнение и ищутся ее модификации.

Статистика—математический анализ эмпирических данных. Ее основное орудие — теория вероятностей. Целью статистики часто является получение простого или же концентрированного описания массы данных, чтобы облегчить задачу понимания этих данных и согласовать их с ранее изученными явлениями. Этой концентрации можно достичь при помощи понятий среднего значения, дисперсии и доверительных пределов. При этом на основе некоторых обычных допущений делаются упрощения. Так, считается, что "ошибки" данных могут быть описаны нормальным распределением вероятностей. Это допущение хорошо оправдывается на практике и часто может быть обосновано простыми предположениями о причинах ошибок, но об этом нужно помнить при интерпретации результатов статистического анализа. За таким анализом часто следует принятие человеком решения и действия - масса промышленных товаров принимается или отвергается, направляются снаряды для атаки обнаруженных радиолокатором объектов и т. п. Многое из новейшего развития теории статистических решений связано с применением статистической процедуры к нахождению решений и действий, которые за ними следуют, и обычно содействовало минимизации средней полной стоимости затрат.

В радиолокации данными, подлежащими истолкованию, являются последовательности напряжений на клеммах антенны. Ошибки в данных вносятся в основном шумом, для которого мы обладаем хорошей физической картиной, изложенной на языке теории вероятностей. Наблюдатель на основе интерпретации входных напряжений должен совершить определенные действия; задачей статистической теории обнаружения

сигналов является нахождение способа обработки данных, позволяющего принять решение о ходе действий с максимальной эффективностью. Различные критерии, рассматриваемые в этой главе, которые используются при решении, формализуют понятия эффективности и длительного успеха. Используя аналогию между задачей, решаемой наблюдателем, и статистической проверкой гипотез, можно спроектировать оптимальный обнаружитель.