4. Резюме

В настоящей книге содержится введение в статистическую теорию обнаружения сигналов, развиваемую применительно к простейшим задачам трех типов: обнаружение сигналов, определение параметров и разрешение сигналов. Мы изложили математические методы трактовки этих задач. Не следует думать, что все приложения теории столь же легки. Скорее имеет место обратное. Но рассмотрением элементарных примеров совершенствуется наше понимание, столь необходимое при анализе более сложных ситуаций.

Применение теории к новой проблеме включает несколько этапов. Прежде всего уточняют подлежащие проверке гипотезы, а также характер измерений, применяемых при выборе между ними. Есть ли только две гипотезы, как это обычно имеет место при обнаружении сигнала, или же имеется несколько, как при разрешении сигналов; являются ли гипотезы простыми или сложными. Описывают, что известно относительно осуществления гипотез в прошлом, и, если возможно, фиксируют априорные вероятности гипотез и априорные распределения вероятностей неизвестных параметров. Распределения вероятностей измерений при каждой из гипотез определяются экспериментально или теоретически. Наконец, необходимо изучить шум, мешающий принятию решения случайным, непредсказуемым образом.

Во-вторых, выбирается критерий. Байесов критерий требует задания цен каждого решения при каждой из гипотез и знания априорных вероятностей гипотез. Если в нашем распоряжении нет полного знания априорных вероятностей, вместо байесова критерия можно выбрать минимаксный критерий и рассмотреть случай наименее благоприятных распределений. Если определить цены невозможно, можно применить критерий Неймана — Пирсона или какую-либо подходящую его модификацию. Выбор критерия, естественно, определяется отношением наблюдателя к этому предмету и целями, ради которых эти решения принимаются.

В-третьих, выбранный критерий применяется для определения надлежащей стратегии решений. На языке геометрии "пространство" измеренных величин ("пространство наблюдения") разбивается на области решений, каждая из которых связана с определенной гипотезой. В проблеме оценки

искомые оценки суть такие функции экспериментальных данных, которые удовлетворяют управляющему критерию. Затем проектируется система, производящая обработку данных и указывающая выбранные гипотезы или же образующая оценку. На этом этапе часто оказывается необходимым делать приближения для упрощения стратегии и обрабатывающей системы. Для упрощения системы иногда приходится несколько отойти от критерия.

Наконец, определяется эффективность стратегии решения и осуществляющей его системы. Вычисляются вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения, дисперсии ошибок оценок параметров и минимаксный или байесов риск. Это позволяет сравнить новую систему с существующими. Здесь опять часто возникают математические трудности и приходится делать приближенные расчеты.

Сначала эта теория была применена к задаче обнаружения полностью известного сигнала в гауссовом шуме. Решение о его наличии или отсутствии основывается на измерении напряжения на входе приемника в течение заданного времени наблюдения. Это задача выбора одной из двух гипотез. Обе они простые, так как соответствующие функции плотности совместного распределения вероятностей выборочных значений входного напряжения не зависят от неизвестных параметров. Мы нашли, что все три критерия при принятии решений — байесов, минимаксный и Неймана — Пирсона — приводят к одинаковой стратегии, а именно вычислению коэффициента правдоподобия и сравнению его с некоторым определенным числом. Мы выяснили, что эту стратегию можно осуществить, пропуская входной сигнал через определенный линейный фильтр и сопоставляя выходное напряжение в конце интервала наблюдения с некоторым критическим или пороговым уровнем.

Затем было рассмотрено обнаружение узкополосного сигнала, все параметры которого, за исключением фазы, известны. Мы ввели представление о наименее благоприятном распределении неизвестного параметра и применили модифицированный критерий Неймана — Пирсона, при котором вероятность обнаружения для наименее благоприятного распределения фаз максимальна, если вероятность ложной тревоги фиксирована. Показано, что система обнаружения состоит из фильтра, согласованного с любым из возможных

сигналов, детектора и сравнивающего порогового устройства. Так как эту систему можно выполнить независимо от амплитуды сигнала, она может служить также для обнаружения узкополосных сигналов с неизвестной амплитудой.

Затем мы пытались применить тот же критерий для обнаружения узкополосного сигнала с неизвестной амплитудой и фазой, время прибытия которого лежит в некоторых широких пределах. Система оказалась сложной и приводила к плохой обнаруживаемости сигнала даже при больших значениях отношения сигнал/шум. Хотя критерий Неймана — Пирсона, комбинируемый с наименее благоприятным априорным распределением неизвестных параметров, и позволяет разрешить задачу принятия решений независимо от априорных данных, он в данном случае является неудовлетворительным, так как основной упор при этом делается на самые слабые сигналы, которые наблюдатель не может надеяться обнаружить. Проектировщик отдает предпочтение системе, которая в некотором смысле является оптимальной для таких втношений сигнал/шум, когда полезная вероятность правильного обнаружения может быть достигнута при низкой вероятности ложной тревоги.

В конце книги введен метод максимального правдоподобия, вначале как способ получения оценки параметров сигнала. Показано, как можно применить байесов критерий для оценки, когда известны априорные распределения вероятностей неизвестных параметров и цены ошибок в оценках. Отыскивая стратегию оценок, пригодную в случае, когда априорных сведений нет, мы предложили метод максимального правдоподобия, при котором оценка неизвестных параметров делается так, чтобы обеспечить максимизацию значения функции плотности совместного распределения вероятностей результатов наблюдений. Метод максимального правдоподобия применялся для оценки времени прихода и несущей частоты принимаемого сигнала в гауссовом шуме.

Возвращаясь к обнаружению сигнала с неизвестными амплитудой, фазой и временем прихода, мы выработали следующую процедуру. Предполагается, что на входе приемника имеется сигнал данной формы. Ищутся максимально правдоподобные оценки его параметров — амплитуды, фазы и времени прихода. Эти оценки затем испытываются, чтобы решить, не могли ли их значения получиться в условиях,

когда на входе действует только шум. Оказалось, что решение этого вопроса зависит только от оценки амплитуды. Сравнение ее с некоторым определенным критическим уровнем использовалось для принятия или отказа от гипотезы о том, что имеется сигнал. Для вычисления вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения при этой системе требуется нахождение числа превышений данного уровня случайным процессом в единицу времени.

Система обнаружения, использующая метод максимального правдоподобия, очень сходна с обычным радиолокационным приемником. Для малых отношений сигнал/шум эта система хуже ранее рассматривавшейся системы, использующей критерий Неймана — Пирсона, но она более эффективна при таком уровне сигнала, когда есть некоторая надежда на обнаружение с низкой вероятностью ложной тревоги.

Обращаясь теперь к разрешению сигналов, т. е. к задаче принятия решения о том, существует ли на входе приемника один, оба или нет ни одного из двух возможных сигналов, мы сталкиваемся с необходимостью выбирать не из. двух, а из четырех гипотез. Это решение может приниматься с использованием критерия Байеса о выборе гипотезы с минимальным апостериорным риском, если известны априорные вероятности и цены ошибок. Но часто эти вероятности и цены неизвестны. Вследствие трудности применения к этой задаче критерия Неймана-Пирсона мы воспользовались методом максимального правдоподобия и получили стратегию решений, которая хотя практически и не всегда пригодна, но по крайней мере дает нам некоторые представления о характеристиках сигнала, от которых зависит разрешение. Эти характеристики были выражены через параметр разрешения который является функцией разноса рассматриваемых сигналов по времени и частоте. В заключение теория решений была применена к проблеме обнаружения случайных сигналов, форма которых может быть описана только статистически.

Статистическая теория обнаружения сигналов заставляет проектировщика системы обработки данных принимать во внимание статистику мешающего шума. Она не только дает способы использования априорных сведений и цен ошибок при обнаружении или при оценке параметров, но указывает.

и как поступать при их отсутствии. Определение стратегии обнаружения или оценки параметров на основе теории, использующей понятие байесова риска, или понятий вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения, позволяет установить стандарт, относительно которого можно оценивать существующие системы. Теоретически оптимальные системы показывают проектировщику пути улучшения существующих методов.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)