2. Параметр разрешения

(а) Одиночные импульсы

Когда имеются два близких по времени прихода сигнала, вероятность обнаружения каждого из них при данной вероятности ложной тревоги уменьшается. Как было показано в предыдущем разделе, вероятность обнаружения сигнала с энергией находящегося в белом шуме с плотностью

мощности зависит от величины где

для сигналов с комплексной огибающей, пропорциональной и и с неизвестными амплитудами и фазами. Делая разумное предположение, что интервал наблюдения велик по сравнению с длительностью сигнала, заменим в (10.21) пределы интегрирования на Для простоты" мы их писать не будем. Из неравенства Шварца сразу получается (см. сноску на стр. 32)

так что Знак равенства справедлив, только когда Параметр X измеряет относительную величину перекрытия сигналов. Чем меньше этот параметр, тем легче могут быть разрешены сигналы Величина X может быть названа "комплексной перекрестной корреляцией" сигналов. Нужно помнить, однако, что слово "корреляция" не имеет здесь статистического смысла. Большей частью мы будем называть "параметром разрешения".

При проектировании системы связи для передачи некоторого количества различных символов желательно сделать так, чтобы сигналы, соответствующие каждому символу, были по возможности - более различными для уменьшения вероятности спутать один символ с другим. Это может быть сделано при помощи такого выбора формы сигналов, чтобы значение параметра разрешения для каждой пары сигналов было возможно меньше. Это особенно важно, если фазовая информация при передаче утрачивается и если неконтролируемое "мерцание" обусловит также утрату амплитудной информации. Если для каждой пары сигналов, можно сказать, что они "ортогональны" по аналогии с определением ортогональной системы функций [см. подраздел (б) разд. 3 гл. 4]. Одна из возможных систем сигналов образуется функциями Лежандра которые ортогональны в интервале так как

Эта и другие системы ортогональных функций описаны, например, в книге Эрдели и др. [4],

При рассмотрении вопроса о разрешимости сигналов, используемых в радиолокации, мы встречаемся главным образом со случаем, когда второй сигнал является копией первого, отличающейся от задержкой во времени прихода на величину х и допплеровским сдвигом

При этом комплексная (перекрестная корреляция имеет вид

Введя преобразование Фурье огибающей сигнала

можно (записать функцию перекрестной корреляции в виде

Свойства этой функции были описаны Вудвордом [6] и Сибертом [8]. Мы рассмотрим их лишь вкратце.

Важное свойство функции обнаруживается, если проинтегрировать квадрат ее абсолютной величины (10.24):

Так как получаем

Функция в начале координат имеет значение, равное единице. При увеличении допплеровского сдвига и времени х она уменьшается. Кроме пика при у этой функции могут быть и другие пики, но они не такие высокие, если только сигнал не является строго периодическим (этот случай мы опускаем). Объем между поверхностью и -плоскостью имеет постоянное значение не зависящее от формы сигнала. Так как разрешение наилучшее, когда параметр мал, было бы желательно применять сигнал, для которого этот параметр мал на возможно большей части (-плоскости. Однако возможность достижения этого ограничена соотношением (10.27), указывающим, что уменьшение в одной области плоскости должно быть сбалансировано увеличением его где-нибудь в другом месте. Здесь мы ограничимся случаем сигналов, состоящих из одиночного импульса, когда параметр разрешения имеет только один главный пик.

Особенно легко можно изучить поведение параметра (как функции различных параметров сигнала) частотно-модулированного гауссова сигнала, введенного в (1.46). Запишем его комплексную огибающую в виде

Амплитуда этого сигнала, пропорциональная имеет вид гауссовой кривой; мгновенная частота линейно возрастает во времени: (ср. разд. 3 гл. 1). Для этого сигнала параметр разрешения равен

Эта функция постоянна на эллипсе

Можно показать, что площадь эллипса равна Она не зависит от скорости изменения частоты Следовательно, действие линейной частотной модуляции проявляется только в изменении эллиптических контуров без

изменения их площади. Улучшение разрешения в одной области вследствие частотной модуляции сопровождается ухудшением в какой-либо другой области.

Поучительно определить поведение параметра разрешения для малых Значений сдвига и времени при произвольном сигнале. Это можно легко сделать с помощью разложения в степенной ряд подынтегрального выражения в (10.24) в предположении небольшого изменения переменных:

Используя формулы разд. 5 гл. 1 для моментов времени и частоты, получаем

и

Из формулы (1.48) видно, что параметр разрешения при малых значениях постоянен на контуре, подобном введенному в гл. 1 эллипсу неопределенности (для гауссова импульса это справедливо для всех значений Такой элдипс изображен на фиг. 1.7.

Как было показано в разд. 5 гл. 1, эллипс неопределенности имеет наибольшую площадь для гауссова импульса. Для любого другого импульса и значений близких к единице, площадь, ограниченная таким же контуром, будет меньше. Рассмотрим сигналы, модулированные только по

амплитуде (при этом условии оси эллипсов параллельны осям да и и сравним один из таких сигналов с гауссовым сигналом, заданным соотношениями (10.28), при одинаковых значениях их продолжительности . Значение в направлении х уменьшается от наибольшего значения в начале координат много медленнее для гауссова импульса, чем для рассматриваемого. В направлении да значения ведут себя одинаково для двух сигналов, по крайней мере при малых значениях сдвига Следовательно, вблизи начала координат значения параметра разрешения меньше, чем для гауссова сигнала. Чтобы выполнялось (10.27), значения для рассматриваемого сигнала должны превосходить значения для гауссова сигнала в областях -плоскости, удаленных от начала координат. Однако это поведение параметра разрешения при больших значениях да и незначительно изменяет общую разрешаемость для рассматриваемого сигнала, так как, когда параметр мал, его изменение не влияет на обнаруживаемость, зависящую от величины претерпевающей заметные изменения, лишь когда близко к единице. Поэтому можно сказать, что из всех импульсов, имеющих одинаковую продолжительность гауссовы импульсы разрешаются хуже всего. Обнаружить гауссов импульс в присутствии другого сигнала такого же типа наиболее трудно. Сравнение с выводами гл. 8 показывает, что сигналы, время прихода и частоту которых можно измерить точно, легко разрешимы и наоборот.

(б) Повторяющиеся импульсы

До сих пор мы рассматривали сигнал состоящий из одиночного импульса. Параметр разрешения такого сигнала имеет одиночный главный пик с вершиной в начале координат Некоторые радиолокационные системы, однако, излучают последовательность когерентных импульсов с управляемыми фазами, так что между фазами этих импульсов имеются определенные, известные соотношения. Предположим, что принимается серия отраженных от цели таких когерентных импульсов с равными амплитудами. Рассмотрим параметр разрешения для такой серии сигналов. Будем предполагать, что

последовательные импульсы перекрываются пренебрежимо мало. Для комплексной огибающей сигнала примем

где период повторения импульсов.

Рассматриваемый сигнал нормирован к единице:

Последнее равенство справедливо, так как мы предполагаем что импульсы перекрываются так мало, что интегралами с можно пренебречь.

Чтобы вычислить параметр разрешения, возьмем задержку лежащую в интервале

и положим так что близко к нулю. При этом импульсов из импульсов одной пачки будут перекрывать импульсы другой; импульс одной пачки перекрывает другой. Для комплексной перекрестной корреляции получаем

где комплексная перекрестная корреляция отдельных импульсов Взяв абсолютное значение, получаем

где целое число может быть или положительным, или отрицательным. В частности, имеем

Смотря в направлении х, мы видим, что параметр разрешения состоит из повторения функции для одиночного импульса. таких пиков расположены слева, справа и один — в центре. По мере удаления направо и налево высоты этих пиков уменьшаются; они даются формулой (10.34). Причина такого поведения состоит в следующем. Пачки импульсных сигналов, отличающиеся небольшим сдвигом во времени, равным величине, кратной периоду повторения налагаются, за исключением импульсов в начале одной пачки и в конце другой. Чтобы разрешить эти сложные сигналы, система должна использовать импульсы, которые не накладываются, и чем их больше (чем больше индекс тем получается более надежное разрешение.

В направлении ширина пика параметра разрешения для одиночного импульса пачки имеет порядок где есть средний квадрат продолжительности импульса. Мы предполагали, что Рассматривая поведение параметра разрешения даваемого (10.33), в частотном направлении, мы видим, что первоначальная функция раздроблена на серию более узких пиков множителем (Этот множитель подобен множителю, встречающемуся при анализе картины, создаваемой дифракционной решеткой, состоящей из большого числа щелей.)

Фиксируем наше внимание на центральной группе пиков функции для которой дробящий множитель равен Этот множитель

достигает значения, равного единице, при целое число), давая большой пик, ширина которого имеет порядок Между большими пиками имеются малые пики, высота которых меньше в раз. Эта дифракционная картина накладывается на первоначальную функцию раздробляя ее на много узких пиков шириной и периодом Обе эти величины много меньше ширины функции в направлении равной приблизительно (Для больших значений период этих пиков такой же, но ширина с увеличением постепенно возрастает.)

Дробление на пики и провалы в направлении может быть использовано для разрешения целей, скорости которых различаются на меньшую величину, чем у целей, которые могут быть разрешены одиночным импульсом. Это можно понять, если заметить, что М-кратное когерентное повторение импульса приводит к тому, что его спектр становится линейчатым: расстояние между линиями равно а ширина линий составляет Если допплеровские сдвиги, обусловленные движением целей, таковы, что спектральные линии эхо-сигналов от этих целей чередуются, могут быть сконструированы фильтры для эффективного разрешения сигналов. Но если относительная скорость целей приводит к сдвигу кратному частоте повторения, спектры перекрываются и разрешение становится трудным, если только сигналы не достаточно хорошо разделены во времени.

Измерение скорости одиночной цели методами, описанными в гл. 8, при использовании пачки когерентных импульсов может быть сделано точнее, чем при одиночном импульсе. Но поведение функции указывает на то, что в результаты измерений вносится неоднозначность. Частоты, отличающиеся на величину, кратную становятся неразличимыми. Для периода повторения сек и несущей частоты эта неоднозначность в скорости цели составляет Происхождение этой неоднозначности следующее: так как излучаемые импульсы когерентны, приемник может измерить изменение фазы несущей от одного отраженного импульса к другому, сравнивая фазы принятых

эхо-сигналов с фазой гетеродина, синхронизированного с излучаемыми импульсами. Если цель движется со скоростью и за период повторения импульсов проходит расстояние фаза несущей изменится на величину где с — скорость света. Скорость цели при этом дается соотношением Но приемник не может различать изменения фазы, отличающиеся на величину, кратную и возникает неопределенность в истинной скорости, даваемая величиной, кратной

Возвращаясь к проблеме разрешения пачек когерентных импульсов, заметим, что, если амплитуды импульсов не равны, качественное поведение параметра разрешения будет таким же, как описано выше, но дифракционный множитель, на который умножается первоначальная функция в (10.33), будет теперь зависеть от действительного распределения амплитуд. Задача разрешения пачек импульсов была рассмотрена и проиллюстрирована Вудвордом [6].