2. Обнаружение сигнала с неизвестным временем прихода

Расстояние возможной радиолокационной цели до антенны обычно неизвестно, поэтому для обнаружения эхо-сигнала невозможно использовать метод, развитый в гл. 5 и 6, так как наблюдатель не знает точного времени для измерения выходного напряжения согласованного фильтра. Здесь может быть с успехом применен метод максимального правдоподобия. Рассматривая в этом разделе только неподвижные цели, предположим, что напряжение на входе системы представляет собой сумму узкополосного сигнала вида

и случайного гауссова шума с известной комплексной функцией автоковариации Так как значения амплитуды А, фазы и времени прихода возможного эхо-сигнала неизвестны, максимально правдоподобные оценки этих параметров для данного входного напряжения определяются методами, описанными в гл. 8. Эти оценки даются формулами

в которых оценка равна значению х, максимизирующему функцию

Мы предположили, что интервал наблюдения достаточно велик, чтобы содержать все наиболее существенные части сигнала, когда бы он ни появился. Функция является решением интегрального уравнения (8.12). Как отмечалось выше, величину можно образовать, пропуская входное напряжение через фильтр, согласованный с сигналом с задержкой Импульсная характеристика этого фильтра дается уравнением (8.15). За фильтром следует квадратичный детектор, напряжение на выходе которого в момент как раз и равно, согласно формуле (8.17), значению функции при условии, что задержка велика по сравнению с длительностью сигнала.

Эти оценки параметров нужно проверить, чтобы решить, можно ли их получить при наличии одного шума. Для этого следует рассмотреть их совместное распределение при нуль-гипотезе, т. е. при предположении, что Так как шум, как всегда, считается стационарным, наибольший пик продетектированного выходного напряжения фильтра, соответствующий максимуму как функции времени х, мог бы иметь место в любое время в интервале наблюдения с равномерным распределением вероятностей. Следовательно, значение оценки х времени прихода сигнала не дает наблюдателю способа отличить нуль-гипотезу от гипотезы, что сигнал есть. Так же, как в разд. 1, оценка фазы сигнала, равномерно распределенная в интервале при нуль-гипотезе, для нас бесполезна.

Можно ожидать, однако, что оценка амплитуды мала, когда присутствует только шум. Если получается достаточно большое значение амплитуды наблюдатель может быть почти уверен, что сигнал есть. Из (9.26) и (9.27) видно, что оценка пропорциональна корню квадратному из значению пика функции Это значение и может быть использовано в качестве статистики испытания. Оно сравнивается с подходящим образом выбранным критическим уровнем и объявляется, что сигнал есть, когда Как было упомянуто выше, функция может быть получена пропусканием входного напряжения через определенным образом согласованный фильтр и детектированием напряжения наего выходе. Критический уровень зависит от приемлемой вероятности ложной тревоги которая в свою очередь является функцией цены решения, что

сигнал присутствует, когда его в действительности нет. Отношение этой системы обнаружения по максимальному правдоподобию к обычной радиолокационной системе очевидно. Вероятность ложной тревоги такой системы есть вероятность того, что напряжение на выходе детектора превысит критический уровень по крайней мере один раз в течение интервала наблюдения, когда во входном напряжении присутствует только шум. В общем случае вычислить точно эту вероятность трудно, приходится делать некоторые приближения. Эта задача будет обсуждаться в следующем разделе.

На практике, конечно, в течение интервала наблюдения - появляются эхо-сигналы от многих целей и наблюдатель вынужден рассматривать каждое превышение оценки А или функции своих критических уровней как результат появления эхо-сигнала. Обычно предварительные наблюдения устанавливают источники большинства этих эхо-сигналов, такие, например, как земля, деревья или дружественные корабли, и наблюдатель интересуется только новыми целями, появляющимися в процессе проведение радиолокационного поиска.

Вероятность обнаружения цели увеличивается, если излучается некоторое количество импульсов и наблюдение входного напряжения проводится на интервалах, в течение каждого из которых ожидается появление эха. Сигнал в интервале при измерении времени в каждом интервале от его начала выразится формулой

если мы предположим, что цель неподвижна. Амплитуды фазы и время обычно неизвестны. Как было выяснено ранее, фазы являются независимыми случайными переменными, если между излучаемыми импульсами когерентности нет. В случае быстрого мерцания корреляции между амплитудами нет. Все предполагаются неизвестными.

Чтобы применить обнаружение по максимальному правдоподобию, предполагается, что входные напряжения в течение интервалов состоят из сигналов (9.28) и шума. Максимально правдоподобные оценки параметров делаются в соответствии с методами разд. 3 гл. 8. Оценки фаз и амплитуд даются соотношениями,

подобными (9.25) и (9.26). При использовании вместо комплексной огибающей входного напряжения в интервале получаем Как и в (8.37), максимально правдоподобная оценка времени прихода равна значению , максимизирующему функцию

Эта функция может быть образована пропусканием входного напряжения через фильтр, согласованный с сигналом Выходные напряжения этих фильтров детектируются, задерживаются и суммируются так, что соответствующие значения времени каждого интервала совмещаются. Когда все входных сигналов синхронно сложены и представлены на развертке, относительное время в которое эта сумма достигает максимума, определяет оценку времени прихода.

Оценки времени прихода и фаз опять неприменимы при проверке нуль-гипотезы, состоящей в том, что оценки могли бы быть результатом чистого шума на входе. амплитуд однако, при наличии одного шума будут малыми. Они дают указание, приемлема ли нуль-гипотезй. Вопрос состоит в том, как сочетать их наилучшим образом. Эти амплитуды даются формулами

в которых, как и в подразделе (б) разд. 1,

Как мы показали в разд. 2 гл. величин являются при нуль-гипотезе независимыми гауссовыми случайными переменными со средним значением, равным нулю, и одинаковыми дисперсиями Следовательно,

плотность вероятности их совместного распределения будет равна

Это распределение имеет центральную симметрию в -мер-ном пространстве с координатами ум. Если точка, представляющая результаты данной серии наблюдений, лежит слишком далеко от центра сферы (начала отсчета координат), наблюдатель делает заключение, что едва ли такая серия наблюдений может быть результатом действия одного шума. Поэтому соответствующая статистика для проверки нуль-гипотезы равна

Следовательно, она является пиковым значением функции образованной так, как описано выше. Чтобы решить вопрос о наличии сигнала, это значение нужно сравнить с критическим уровнем Если критический уровень превышается, наблюдатель объявляет, что присутствует сигнал со временем прихода, близким к значению при котором функция достигает максимума. Так как эта функция наблюдается на определенном интервале х, вероятность ложной тревоги равна вероятности того, что превзойдет критический уровень по крайней мере для одного значения времени в данном интервале. Критический уровень выбирается так, чтобы эта вероятность равнялась значению, которое наблюдатель может допустить.