2. Обнаружение сигнала с неизвестной, фазой

В радиолокации эхо-сигналы, которые нужно обнаружить, являются обычно узкополосными импульсами, подобными рассматривавшимся в разд. 3 гл. 1. Типичный сигнал может быть записан в виде

где комплексная огибающая импульса, 2 — несущая частота, момент прихода некоторой отличительной точки сигнала. Для узкополосных сигналов несущая частота так велика, что за время импульса совершается много колебаний несущей частоты.

Время пропорционально расстоянию от цели до антенны приемника. Малое изменение в нем порядка (1/2), соответствующее изменению расстояния до цели порядка длины волны излучения, произведет очень малое изменение в огибающей большое изменение в фазе несущей (Типичное значение длительности импульса равно сек, а (1/2) может быть порядка сек.) Расстояние до цели редко известно достаточно точно, чтобы определить эту фазу внутри интервала в хотя время прихода сигнала и можно найи с точностью до малой части ширины огибающей импульса По этой причине фаза может рассматриваться как случайная переменная, которая, как можно ожидать, изменяется от опыта к опыту и значение которой для любого данного испытания наблюдателю неизвестно.

Таким образом, мы хотим рассмотреть задачу обнаружения одного сигнала из ансамбля сигналов вида

Комплексная огибающая сигнала предполагается заданной. Таким образом, мы считаем, что время прихода огибающей импульса известно. Фаза сигнала однако, является

неизвестным параметром, значение которого лежит в интервале Мы будем искать оптимальную стратегию для выбора между простой гипотезой входном напряжении присутствует только шум — и сложной гипотезой -кроме шума, присутствует еще один из возможных сигналов Эта же задача обнаружения может также встретиться, например, в системе связи, в которой передают узкополосные импульсы, но не стараются поддержать когерентность радиочастоты от импульса к импульсу.

Ввиду симметрии ясно, что наименее благоприятным распределением фазы является равномерное распределение

так как именно это распределение соответствует максимальной неопределенности в значениях Если бы какие-нибудь частные значения фазы превалировали, могли бы быть использованы фильтры, согласованные с сигналами имеющими эти фазы, как описано в предыдущей главе. При этом подходящим взвешиванием выходного напряжения можно было бы достичь увеличения средней вероятности обнаружения. Можно сказать, что наблюдатель знает меньше всего о фазе сигнала, когда ее значения распределены равномерно. Мы найдем стратегию решений, использующую критерий Неймана — Пирсона, при априорном распределении Затем вычислим вероятность пропуска при такой стратегии для сигнала с данной фазой Окажется, что эта вероятность не зависит от истинной фазы В соответствии со сказанным в конце предыдущего раздела эта независимость доказывает правильность выбора (5.22) в качестве наименее благоприятного распределения.

Предположим, что шум является гауссовым и узкополосным. В соответствии с разд. 5 гл. 2 его автоковариация может быть при этом записана в виде при помощи так называемой комплексной функции автоковариации Позднее будет найдена стратегия обнаружения и для белого шума, рассматриваемого как предельный случай такого узкополосного шума.

За исключением использования комплексных величин вместо действительных, наш вывод оптимальной стратегии

во многом подобен выводу, проведенному в разд. 3 гл. 4. Входной сигнал наблюдаемый в интервале будем описывать при помощи ряда величин, являющихся независимыми гауссовыми переменными, выполнив разложение Фурье его комплексной огибающей Со своей комплексной огибающей входной сигнал связан соотношением

Комплексная огибающая может быть однозначно определена с помощью процедуры разложения Фурье, описанной в разд. 3 гл. 1. и разд. 5 гл. 2. Так как ширина спектра входного сигнала мала по сравнению с несущей частотой квадратурные компоненты огибающей являются медленно меняющимися функциями времени.

Запишем комплексную огибающую в виде разложения Фурье по системе комплексных функций ортонормальных в интервале

Эти ортонормальные функции выбраны как собственные функции интегрального уравнения

в котором комплексная функция автоковариации шума, Применим снова теорию интегральных уравнений, упоминавшуюся в подразделе (б) разд. 3 гл. 4. Сравнение уравнения (5.45) с уравнением (2.44) показывает, что ядро и) эрмитово, так как узкополосный спектр мощности шума действителен. Ядро также является

положительно-определенным. Это можно показать следующим способом. Вычислим среднее значение

где некоторая комплексная функция , а комплексная огибающая входного сигнала. Это среднее значение должно быть положительным. Используя (2.52), получим

По определению, согласно (4.33), комплексное ядро является, следовательно, положительно-определенным. Так как ядро положительно-определенно и эрмитово, собственные значения интегрального уравнения (5.24) должны быть положительными и действительными, а собственные функции ортонормальными в интервале Предположим, что все собственные значения различны и запишем их в нисходящем порядке:

Ранее отмечалось, что компоненты комплексной огибающей узкополосного гауссова стохастического процесса являются гауссовыми случайными функциями. Так как величины в (5.23) получены из комплексной огибающей линейными операциями, они тоже должны быть гауссовыми случайными переменными. При гипотезе (присутствует только один шум) их среднее значение равно нулю, . Но когда присутствует сигнал среднее значение комплексной огибающей по формуле (5.21) равно Поэтому средние значения

компонент V при гипотезе даются формулами

Величины и являются коэффициентами разложения Фурье огибающей сигнала

Ковариации компонент вычисляются следующим методом. При гипотезе согласно (5.23), имеем

При этом мы использовали соотношение (2.52) и интегральное уравнение (5.24). Аналогично из (2.53)

Подставив сразу же получим

Ковариации будут такими же и при гипотезе вследствие того, что сигнал просто добавляется к шуму. Эти результаты показывают, что случайные переменные статистически независимы для всех значений индекса их дисперсии равны собственным значениям интегрального уравнения (5.24).

Теперь предположим, что наблюдатель основывает свой выбор между двумя гипотезами на значениях

коэффициентов и Плотности вероятности совместных распределений этих значений при двух гипотезах равны

где V означает набор Наблюдатель применяет критерий Неймана — Пирсона, который предписывает ему минимизировать среднюю вероятность пропуска, даваемую формулой (5.9), при фиксированном значении вероятности ложной тревоги в предположении, что функция априорного распределения вероятностей неизвестной фазы есть наименее благоприятная, даваемая формулой (5.22). В соответствии с подразделом (б) предыдущего равдела наблюдатель должен использовать свои данные, чтобы вычислить средний коэффициент правдоподобия (5.4), который в нашем случае имеет вид

где

действительно. Интеграл в формуле (5.30) может быть вычислен с помощью формулы

для модифицированной функции Бесселя первого рода нулевого порядка. При этом средний коэффициент правдопо" добия окончательно принимает вид

Чтобы сделать выбор между двумя гипотезами, этот коэффициент правдоподобия сравнивается, как обычно, с некоторым критическим значением

Так как функция Бесселя является монотонно возрастающей, решение может основываться в такой же степени на значении одной Гвеличины Чтобы использовать максимальное количество информации о входном сигнале наблюдатель берет число возможно большим. В пределе, при статистика испытания принимает вид

если этот ряд сходится. Теми же методами, которые использовались в разд. 3 гл. 4, можно показать, что статистика может быть записана в виде

где решение интегрального уравнения

Здесь комплексная огибающая сигнала, а комплексная автоковариация шума. Это интегральное уравнение соответствует уравнению (4.48). Статистика сравнивается

с некоторым критическим уровнем если наблюдатель решает, что сигнала нет. Значение выбрано так, что вероятность ложной тревоги равна предписанному значению.

Сейчас мы покажем, что статистика может быть получена пропусканием входного сигнала через узкополосный фильтр, согласованный с сигналом и детектированием напряжения на выходе фильтра. Фильтр, согласованный с указанным выше сигналом, имеет комплексную импульсную характеристику (разд. 4 гл. 1)

В соответствии с соотношением (1.30) комплексная огибающая напряжения на выходе фильтра в момент при узкополосной апроксимации равна

В момент времени значение комплексной огибающей равно

и абсолютное значение огибающей есть искомая статистика В разд. 3 гл. 1 мы видели, что напряжение на выходе детектора есть некоторая монотонная функция модуля комплексной огибающей напряжения на входе детектора. В нашем случае, если выходное напряжение фильтра приложить к линейному детектору, значение напряжения на выходе детектора в конце интервала наблюдения будет пропорционально Такое применение согласованного фильтра и детектора было предложено Петерсоном, Бирдзоллом и Фоксом [6].

Оптимальная система обнаружения узкополосного сигнала с неизвестной фазой в узкополосном гауссовом шуме состоит

из фильтра, за которым следует детектор. Фильтр согласован с сигналом, комплексная огибающая которого является решением интегрального уравнения (5.35) с комплексной функцией автоковариации шума в качестве ядра. Напряжение на выходе детектора в конце интервала наблюдения пропорционально статистике Оно сравнивается с некоторым критическим уровнем, выбранным таким образом, чтобы получить заданную вероятность ложной тревоги Если выходное напряжение превышает критический уровень, должно быть принято решение, что один из сигналов присутствовал в течение интервала наблюдения. В следующем разделе путем определения вероятностей ложной тревоги и обнаружения будет проанализировано поведение такой системы обнаружения.

Если ширина полосы шума на входе много больше полосы сигнала и если спектр шума приблизительно постоянен в интервале частот, занятых спектром сигнала, функция автоковариации представляет собой узкий по сравнению с огибающей сигнала пик. В пределе, когда ширина полосы велика по сравнению с и шириной спектра сигнала, можно заменить комплексную функцию автоковариации шума дельта-функцией

как это сделано в (2.56), где плотность мощности шума вблизи спектра сигнала. Решение интегрального уравнения (5.35) в этом предельном случае равно а статистика испытаний принимает вид

Она пропорциональна продетектированному напряжению на выходе фильтра, согласованного с любым из ожидаемых сигналов в конце интервала наблюдения. Так как ширина полосы шума не входит в формулу (5.37), система обнаружения должна быть оптимальной, если полоса шума много больше полосы сигнала и, следовательно, даже если шум белый. Как показано в разд. 5 гл. 2, подавление частотных компонент шума, далеких от частотных компонент

сигнала, при помощи фильтра с полосой, малой по сравнению с несущей частотой 2, но большой по сравнению с шириной спектра сигналов при оптимальном обнаружении сигналов может оказать лишь незначительное влияние. Представление белого шума с помощью квадратурных компонент, согласно (2.56), также могло быть использовано для получения системы оптимального обнаружения узкополосного сигнала в белом шуме. Оно привело бы опять к статистике даваемой (5.37).